הגדרת המושגים מהירות, תנע, מסה

forum link

מהירות

מהירות הינה מידה לתיאור קצב תנועתו של גוף במרחב, המסומנת על ידי האות v בעלת כיוון וגודל. יחידות המהירות הן

\(\displaystyle{ [v] = \left[\frac{L}{T}\right] = \frac{meter}{second} }\)

נניח שיש לנו אלומה של אלקטרונים. את מהירותם ניתן למדוד בשיטה של גלגל מסתובב, באמצעות מכשיר השולח אלומת אלקטרונים על קיר העוברת דרך שני דיסקים בעלי חור יחיד בכל אחד. על מנת לחשב את מהירות האלקטרונים נסובב את הדיסקים ולאט לאט נאיץ אחד מהם עד שנגיע למצב שבו האלומה עוברת באופן רציף ולפי המרחק של הדיסקים וקצב הסיבוב ניתן לקבוע מהי מהירות האלקטרונים.

קיימות גרסאות שונות של שיטה זו למדידת המהירות. בשנת 1849 פיסיקאי בשם פיזו (Fizeau) ביצע ניסוי למדידת מהירות האור. הוא שלח קרן אור שעברה בחריץ שבין שתי שיניים בגלגל מסתובב, והוחזרה על ידי מראות לאותו גלגל שיניים, לאחר שעברה מרחק מסוים. פיזו הצליח לסובב את הגלגל מספיק מהר, ולהגיע למהירות סיבוב מינמלית מסוימת, כך שהקרן המוחזרת נתקעה בשן של הגלגל, במקום לעבור שוב דרך אותו חריץ. מתוך הידיעה של מהירות סיבוב הגלגל ואורך המסלול (5 מייל) פיזו הצליח לחשב את מהירות האור שהיא בקרוב 300,000 ק"מ לשניה. כיום, במסגרת הסטנדרטיזציה של השיטה המטרית, מהירות האור הוגדרה להיות  299,792,458 מטרים לשניה.



תנע במכניקה קוונטית

האופי הגלי של חלקיקי החומר:

  \(\displaystyle{ p = \frac{2\pi}{\lambda} = \mbox{momentum} = \mbox{wavenumber} }\)

החוק השני של ניוטון:  על ידי הפעלת "כוח" ניתן להגדיל את "התנע" של החלקיק.

\(\displaystyle{ \frac{d p}{d t} = \mbox{Force} }\)

תנע גדול משמעו אורך גל קצר.

יחס הדיספרסיה

את הקשר בין מהירות לבין תנע ניתן למדוד באופן ניסיוני ולבטא איתו יחס הנקרא "יחס הדיספרסיה". לאלקטרונים ניתן לתת תנע גדול כרצוננו על ידי הפעלת כח חשמלי לפרק זמן מתאים. התנע שהאלקטרונים יקבלו יהיה שווה לכח המופעל כפול משך הפעלת הכח. התוצאה הנסיונית עבור המהירות נראית כמו בציור.



הקשר בין המהירות לבין התנע נקרא "יחס דיספרסיה".
במקרה הרלטיביסטי נוח לעבוד עם יחידות אורך שבהם \(\displaystyle{ c=1 }\) ולרשום

\(\displaystyle{ v = \frac{p}{\sqrt{m^{2}+p^{2}}} }\)

את יחס הדיספרסיה מקובל בצורה הבאה:

\(\displaystyle{ v=\frac{dE}{dp} }\)

ביטוי זה מגדיר את המושג "אנרגיה" - זה הביטוי שממנו גוזרים את המהירות. בקורס המתקדם "מכניקה אנליטית" תגדירו את האנרגיה בתור "הערך של ההמילטוניאן". ההמילטוניאן היא פונקציה שממנה גוזרים את משוואות התנועה הקלאסיות. במקרה הכללי ההמילטוניאן כולל גם "פוטנציאל" שמשפיע על התנועה. אבל כאן אנו מתיחסים לחלקיק חופשי. נשים לב שבתוקף ההגדרה לעיל לאנרגיה יש יחידות של תדירות . הביטוי עבור "האנרגיה" שנותן את יחס הדיספרסיה הרלטיביסטי של חלקיק חופשי הוא:

\(\displaystyle{ E= \sqrt{(mc^2)^{2} + (pc)^{2}} }\)

כאן חזרנו לשיטת היחידות הרגילה, עם c מהירות האור.
במהירויות נמוכות ("לא יחסותיות"):

      \(\displaystyle{ E \ \approx \ \ mc^2 + \frac{p^2}{2m} }\)

האיבר הראשון נקרא "אנרגית מנוחה" והוא לא משפיע על יחס הדיספרסיה. לכן אפשר להשמיט אותו (הוא יבוא לכדי ביטוי רק בראקציות גרעיניות שבהם חלקיקים מתפרקים או מתמזגים). האיבר השני נקרא "אנרגיה קינטית". בקרוב הלא-רלטיביסטי יחס הדיספרסיה שנגזר ממנו הוא:

\(\displaystyle{ v \ \approx \ \frac{1}{m}p }\)

מתוך הסתכלות בנוסחא של יחס הדיספרסיה אנו רואים שהיחידות של המסה הן:

\(\displaystyle{ \left [m\right ] = \left [\frac{second}{meter^{2}}\right ] }\)

אם אנו רוצים לקבל את המסה ביחידות הקלאסיות של ק"ג עלינו להשתמש בנוסחת ההמרה הבאה:

\(\displaystyle{ m[kg] = \hbar m \left [\frac{second}{meter^{2}}\right ] \ \ \ \ \left( \hbar = \frac{h}{2\pi} \right ) }\)

נדגיש שבמכניקה קוונטית המסה מוגדרת כפרמטר ביחס הדיספרסיה, ולא נדרש להגדיר עבורה יחידת מדידה נפרדת.

מסה במכניקה קלאסית

scales


נתיחס להלן ביתר פרוט להגדרה הניוטונית של מסה אינרציאלית. המסה אינרציאלית המוגדרת על ידי תוצאת התנגשות של שני גופים. לשם כך נבחר גוף שרירותי במשקל 1kg כמסת הייחוס על מנת שניתן יהיה למצוא את מסת שאר הגופים ע"י ביצוע התנגשות בו.

\(\displaystyle{ m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} }\)

\(\displaystyle{ \frac{m_{1}}{m_{2}} \ = \ -\left(\frac{u_{2}-v_{2}}{u_{1}-v_{1}}\right) }\)

להלן הדגמה נסיונית של "מדידת מסה" באמצעות התנגשות:

קישורים

תנע במכניקת קוונטים - http://en.wikipedia.org/wiki/Momentum#Momentum_in_quantum_mechanics
מידע מתומצת על מכניקה קוונטית - http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIVE/QMECH/qmech.html
סיכומי הרצאה במכניקה קוונטית - http://physics.bgu.ac.il/~dcohen/ARCHIVE/qmc_ARC.pdf
איך מדדו את מהירות האור - http://news.nana10.co.il/Article/?ArticleID=157635