מכניקה קוונטית

דורון כהן
אוניברסיטת בן גוריון, המחלקה לפיסיקה

(סרטונים וחלק מהציורים נלקחו מהרשת)

המסגרת התאורתית

מכניקה קלאסית ("דטרמיניזם")
מכניקה סטטיסטית ("חוסר ידיעה")
מכניקה קוונטית ("אי ודאות'')

כיצד חלקיק מתואר?

באמצעות המיקום בכל רגע ורגע $\Huge x=X(t)$
באמצעות פונקציה המתארת את פילוג ההסתברות $\Huge \rho_t(x)$
באמצעות "פונקצית גל" המתארת את אמפליטודת ההסתברות $\Huge \Psi_t(x)$

במכניקה קוונטית חלקיק יכול להמצא בשני מקומות באותו זמן.

דעות קדומות...

מי לא אוהב מכניקה קוונטית?

החתול של שרדינגר - יכול להיות בסופרפוזיציה של חיים ומוות
אינשטיין: "אלוהים לא משחק בקוביות" - הטבע כן משחק בקוביות
סטארק לעומת היזנברג (מלה"ע השניה)
פיסיקאים שזכו בפרס נובל - רוצים לשחוט את הפרה הקדושה
סטודנטים שמתקשים לסיים את התואר...
אתגר קרת: "אף אחד לא מבין את הקוונטים" - לא נכון

בניגוד לדעה המקובלת: המכניקה הקוונטית פשוטה יותר מהמכניקה הקלאסית

מה יש ביקום

חלקיקים ושדות:

קוורקים (מהם בנויים 100 הגרעינים של "היסודות")
לפטונים (בפרט, אלקטרונים)

שדות אינטרקציה (בפרט, השדה האלקטרומגנטי)

גרביטציה (העקמומיות של המרחב)

הערות:

המכניקה הקלאסית/הקוונטית מטפלת גם בחלקיקים וגם בשדות
עקרונות תורת היחסות הפרטית הם חלק מהמכניקה הקלאסית/הקוונטית
תורת השדה האלקטרומגנטי היא חלק מהמכניקה הקלאסית

תורת הגרביטציה של אינשטיין ("יחסות כללית") היא תורה קלאסית
הכנסת תורת הגרביטציה למסגרת המכניקה הקוונטית הוא עדיין עניין פתוח

מה זה חלקיק?

חלקיק אלמנטרי כגון אלקטרון הוא אוביקט שיש לו

שלוש דרגות חופש של מיקום (x,y,z)
דרגת חופש של קיטוב (spin)

מצבי צבירה של החומר:

אטומים (גז / נוזל)
מולקולות (גז / נוזל / חומרים אורגניים)
גבישים (מתכות, מלחים)
פלסמה (חומר מיונן באטמוספירה)
...

ניסוי שני סדקים

$Doubleslitdiffraction$

אורך גל $\Huge\lambda = \mbox{wavelength}$

Single_double_slit_experiment

דה-ברולי

האופי הגלי של חלקיקי החומר:

בניסוי שני סדקים אלומה של אלקטרונים מתנהגת כמו אלומת גלים. סרט
אפשר למדוד את אורך הגל שמאפיין את האלומה
אפשר לשגר את החלקיקים אחד אחד (כך שלא מדובר באפקט קולקטיבי)

תנע $\Huge p = \frac{2\pi}{\lambda} = \mbox{momentum} = \mbox{wavenumber}$

החוק השני של ניוטון:

על ידי הפעלת "כוח" ניתן להגדיל את "התנע" של החלקיק.

$\Huge \frac{d p}{d t} = \mbox{Force}$

תנע גדול משמעו אורך גל קצר.

ההגדרה של "מסה" במכניקה קוונטית:

מה המהירות v של חלקיק שנתנו לו תנע p

תשובה: $\Huge v \approx \frac{1}{m} p$

את התוצאה לעיל ניתן "לגזור" מתוך ביטוי עבור "האנרגיה" של החלקיק:

$\Huge E \ \ = \ \ \sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2} \ \ \approx \ \ mc^2 + \frac{p^2}{2m} \ \ = \ \ E_0 + \frac{1}{2}mv^2$

הקשרים אחרים שבהם מופיע המונח "מסה"

ההגדרה של "מסה אינרציאלית" במכניקה קלאסית (באמצעות התנגשויות)
ההגדרה של מסה בתור "אנרגית המנוחה" בתורת היחסות (פצצות אטום...)
ההגדרה של "מסה גרביטציונית" בתורת הכבידה (באמצעות שקילה / מאזניים)

$\Huge m[\mbox{kg}] \ = \ \mathbf{\hbar} \, m [\mbox{sec}/\mbox{meter}^2]$

התנגשות בין גופים בעלי מסות שוות
התנגשות גוף בעל מסה קטנה בגוף בעל מסה גדולה
התנגשות גוף בעל מסה גדולה בגוף בעל מסה קטנה

התאור הקוונטי של חלקיק "קשור"

האנרגיה של חלקיק קשור שמצוי במצב "סטציונרי" מקוונטטת (אנלוגיה: גל עומד במיתר).
לכן החלקיק יכול לבלוע או לפלוט אנרגיה רק במנות בדידות (ספקטרוסקופיה).

חלקיק בקופסא ("בור פוטנציאל") $\Huge E_n = n^2, \ \ \ \ \ n=1,2,3,...$

אלקטרון קשור באטום ("אטום המימן") $\Huge E_n = -\frac{1}{n^2} \ \ \ \ n=1,2,3,...$

אטום קשור במולקולה ("חלקיק קשור לקפיץ") $\Huge E_n = \omega n \ \ \ \ n=0,1,2,3,...$

התאור הקוונטי של השדה האלקטרומגנטי

אופני תנודה של שדה ("מודים"):

התנודות של כדורים קשורים בקפיצים
התנודות של מיתר
התנודות של צפיפות/לחץ האויר
התנודות של השדה האלקטרומגנטי

כל "מוד" של תנודה מאופין על ידי תדירות מסוימת ω

האנרגיה שיכולה להיות במוד היא מקוונטטת

$\Huge E_n = \omega n \ \ \ \ \ \ \ n=0,1,2,3,...$

רה-אינטרפטציה: "רמת עירור" = "רמת איכלוס"

קוונטות של אנרגיה בתנודות אקוסטיות = פונונים
קוונטות של אנרגיה בתנודות אלקטרומגנטיות = פוטונים

הספין של פוטון

ספין של פוטון מקוטב בכיוון ציר X           $\Huge |\updownarrow\rangle$
ספין של פוטון מקוטב בכיוון ציר Y           $\Huge |\leftrightarrow\rangle$
ספין של פוטון מקוטב בכיוון כלשהו          $\Huge |\Psi\rangle = \alpha |\updownarrow\rangle + \beta|\leftrightarrow\rangle$

מצבי הקיטוב האורתוגונליים הם $\Huge 90^o$

אוסף מצבי הקיטוב של פוטון מהווה מרחב לינארי דו-מימדי

הספין של אלקטרון

ספין של אלקטרון מקוטב בכיוון ציר Z              $\Huge |\uparrow\rangle$
ספין של אלקטרון מקוטב בכיוון ציר Z-              $\Huge |\downarrow\rangle$
ספין של אלקטרון מקוטב בכיוון כלשהו          $\Huge |\Psi\rangle = \alpha |\uparrow\rangle + \beta|\downarrow\rangle$

מצבי הקיטוב האורתוגונליים הם $\Huge 180^o$

אוסף מצבי הקיטוב של אלקטרון מהווה מרחב לינארי דו-מימדי

חלקיק במערכת שני אתרים

חלקיק במערכת N אתרים

להיות באתר מספר חמש:	$\Huge \|\Psi\rangle = \|5\rangle$
להיות עם תנע אפס:	$\Huge \|\Psi\rangle = \|1\rangle + \|2\rangle + \|3\rangle + ... + \|N\rangle$
מצב כללי:	$\Huge \|\Psi\rangle = \psi_1 \|1\rangle + \psi_2\|2\rangle + \psi_3\|3\rangle + ...$

אוסף המספרים $\Huge \psi(x)$ באשר $\Huge x=1,2,3...$ נקרא "פונקצית גל"

ההתנהגות של חלקיקים בעולמנו הקוונטי

חלקיקים הם כמו גלים.
הם מתנהגים כמו רוחות רפאים.

חלקיק יכול להמצא בו זמנית בשני מקומות.
כשיש פתח – הוא ינסה לעבור דרכו.
כשיש שני פתחים – הוא ינסה לעבור בו זמנית דרך שניהם, ולפעמים לא יצליח.

כשיש מחסום הוא יכול לעבור דרכו ("מינהור").
לפעמים קל יותר לחלקיק לעבור 2 מחסומים מאשר לעבור מחסום אחד.

פצצות בעלות מרעום המבוסס על אטומים שבולעים פוטונים אדומים
התערבבו עם...
פצצות בעלות מרעום המבוסס על אטומים שבולעים פוטונים כחולים
מה עושים?

מחשבים קוונטיים

דעיכה של אטום ממצב מעורר

אטום במצב מעורר:               $\Huge |\uparrow\rangle$
אטום במצב היסוד:                $\Huge |\downarrow\rangle$
המצב של האטום לאחר "זמן מחצית חיים":          $\Huge |\Psi\rangle = |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle$

הערה: כשאטום דועך למצב היסוד הוא משחרר פוטון

שאלה: האם ניתן להכין גם חתולים בסופרפוזיציה?

החתול של שרדינגר

חתול חי: $\Huge |1\rangle$
חתול מת: $\Huge |0\rangle$

מתכון להכנת חתול בסופרפוזיציה של חיים ומוות:

השג אטום במצב מעורר $\Huge |\uparrow\rangle$
ארגן מתקן הרעלה: אם האטום "דועך" למצב היסוד הוא משחרר פוטון שגורם לשחרור רעל
שים את החתול החי ביחד עם האטום במתקן $\Huge |\uparrow,1 \rangle$
אם מחכים הרבה זמן המצב שיתקבל יהיה $\Huge |\downarrow,0 \rangle$
אם מחכים "זמן מחצית חיים" המצב שמתקבל הוא: $\Huge |\Psi\rangle = |\uparrow,1 \rangle + |\downarrow,0 \rangle$

האם כשמסתכלים פונקצית הגל קורסת?

עובדה נסיונית: כאשר פותחים את הקופסא תמיד רואים חתול חי או חתול מת.

האם הסופרפוזיציה "קורסת" כאשר מסתכלים עליה?

מצב של המוח לפני שפותחים את הקופסא:                     $\Huge |\phi\rangle$
מצב של המוח אם רואים חתול חי:                   $\Huge |+\rangle$
מצב של המוח אם רואים חתול מת:                     $\Huge |-\rangle$

מצב היקום לפני שפותחים את הקופסא:     $\Huge |\Psi\rangle = |\uparrow,1;\phi \rangle + |\downarrow,0;\phi \rangle$
מצב היקום לאחר שפותחים את הקופסא:     $\Huge |\Psi\rangle = |\uparrow,1;+ \rangle + |\downarrow,0;- \rangle$

הרבה תסריטים / עולמות שקימים במקביל...

האם הסתכלות משפיעה על המערכת?

"הפרדוקס" של איינשטיין-פודולסקי-רוזן EPR

EPR

חלקיק בעל ספין אפס מתפרק לשני חלקיקים בעלי ספין חצי
חלקיק אחד מגיע לכדור הארץ והספין שלו נמדד בכיוון Z
החלקיק השני מגיע לירח

האם עישון עוזר למנוע אלצהיימר?

אבחנה בין יחס סיבתי במובן של אינטראקציה, לבין יחס סיבתי לכאורה במובן הסתברותי / סטטיסטי.

הפרדוקס של מונטי הול:

יש שלוש דלתות.
מעמידים מכונית מאחורי אחת מהם.
המנחה נותן לך לבחור דלת.
המנחה פותח את אחת הדלתות האחרות.
המנחה נותן לך הזדמנות לשנות את דעתך.
פותחים את שלושת הדלתות - האם זכית במכונית?

טענות:

בשלב מס.3 ההסתברות למצוא את המכונית באחת מן הדלתות היא שווה.
בשלב מס.5 ההסתברות למצוא את המכונית בדלת האחרת היא כפולה.

מסקנה: המדידה "השפיעה" על מצב המכונית.

האם יתכן שהעולם הוא קלאסי?

הגענו למסקנה שפונקצית הגל היא בעלת משמעות סטטטיסטית בלבד.
האם באמת אי אפשר לנבא באופן דטרמיניסטי את התוצאה של מדידה?

ההיפותזה של hidden variables בהקשר של EPR

אי השיוויון של בל: $\Huge C < 2$
הניבוי של המכניקה הקוונטית: $\Huge C < 2\sqrt{2}$

אי השוויון של בל מתבסס על ההנחות הבאות:

מדידה בכדור הארץ לא משפיעה על הירח
התוצאה של המדידה נקבעת באופן דטרמינסטי

מסקנה נסיונית: העולם אינו קלאסי או שיש צורך בתאורית קונספירציה...