(7670) דעיכת גאמוב אל טבעת גדולה
2006A3
חלקיק בעל מסה
\( M \)
כלוא בתוך התקן חד מימדי שאורכו
\( L_0 \)
. אל ההתקן החד מימדי ניתן להתיחס כאל "בור
פוטנציאל"
\( (0<x<L_0) \)
. מכינים את החלקיק באחת מרמות האנרגיה
\( n=1,2,3,4... \)
.
(1) שאלה מקדימה: רשום מה הן רמות האנרגיה
\( E_n \)
ופונקציות הגל העצמיות
\( \psi^{(n)}(x) \)
.
הגדרה:
\( v_n=(2E_n/M)^{1/2} \)
החלקיק יכול לברוח לחוט חד מימדי ארוך מאוד. אופן הצימוד של ההתקן לשני
קצות החוט מתואר בשרטוט. מקדמי המעבר (
transmission
) של נקודת החיבור הם
\( g_1,g_2 \)
. בסעיף 2 הנח
\( g_1=g \ll 1, g_2=0 \)
. בסעיף 3 הנח
\( g_1=g_2=g \ll 1 \)
.
להלן יש להביע את התשובות באמצעות
\( (L_0, M, v_n, g) \)
(2) רשום ביטוי מפורש עבור אלמנטי המטריצה
\( V_{nk} \)
בין מצבי ההתקן לבין מצבי החוט (הנח
\( E_k \approx E_n \)
)
(3) מצא את קבוע הדעיכה
\( \Gamma_n \)
של כל אחד מהמצבים.
(4) שאלת בונוס: כיצד סטודנט עצלן יכול למצוא את התשובה הנכונה
בלי לבצע שום חישוב? [זהירות!]
הדרכה + רמזים:
לצורך הפתרון ניתן להניח שאורך החוט הוא
\( L \)
(סופי) אך בתשובה נתון זה אמור "להצטמצם".
על מנת לפתור את השאלה ניתן להשתמש בקביעה הבאה (ללא צורך בהוכחה):
כאשר מצמדים חלש שני חוטים ניתן להתיחס אל נקודת החיבור כאל "מחסום
דלתא"
\( V(r)=u\delta(r) \)
. אלמנטי המטריצה בין המצבים של חוט אחד לבין
המצבים של חוט שני הם
\( V_{nk} = -\frac{1}{4M^2 u} [\partial \psi^{(n)}] [\partial \Psi^{(k)}] \)
באשר
\( \partial \)
היא הניגזרת בכיוון הרדיאלי (הקואורדינטה
\( r \)
מכוונת מהצומת כלפי חוץ).
את התשובה הסופית יש להביע באמצעות
\( g \)
. ניתן להשתמש בקביעה הבאה (ללא צורך בהוכחה):
העבירות של מחסום דלתא גדול מאוד היא
\( g \approx (v_n/u)^2 \)