(6512) מציאת רמות אנרגיה בקרוב סמיקלאסי
2017A
נתון חלקיק בעל מסה
\( M \)
שחופשי לנוע במימד אחד באינטרוול
\( 0<x<\infty \)
.
הפוטנציאל הוא
\( V(x)=-\frac{A}{x^{\alpha}} \)
עם
\( A>0 \)
באשר
\( 0<\alpha<2 \)
.
המטרה היא למצוא מצבים עצמיים קשורים בעלי אנרגיה
\( E = -\epsilon \)
עם
\( \epsilon>0 \)
.
(1) מצא בקרוב WKB את רמות האנרגיה
\( -\epsilon_n \)
בסעיפים להלן התייחס למקרה הפתולוגי
\( \alpha=2 \)
. במקרה זה יש מצבים עצמיים
שההתנהגות האסימפטוטית שלהם קרוב לראשית היא
\( \psi(x) \sim x^{\beta} \)
עם
\( \beta \)
קומפלקסי.
(2) מה הם הערכים של
\( \beta \)
בקרוב WKB
(3) מה הם הערכים המדויקים של
\( \beta \)
(4) מה התנאי על
\( A \)
לכך שתהיה תאימות לקרוב WKB?
ללא הגבלת הכלליות נניח שאנו מעונינים שפונקצית הגל תהיה ממשית.
(5) רשום את ההתנהגות הכללית ביותר של
\( \psi(x) \)
קרוב לראשית.
בסעיף הראשון השתמש בסימון הבא:
\( B(\alpha)=\int_0^1 \sqrt{(1/z)^{\alpha}-1} \ dz \)
בסעיף (5) שים לב שמהביטוי "הכללי" משתמע שהאנרגיה לא מקוונטטת.
כאשר מתקיים תנאי התאימות אפשר למצוא מצב עצמי לכל אנרגיה שלילית.
כאשר לא מתקיים תנאי התאימות אין מצבים קשורים.
(0) לשם הוכחה של הטענה האחרונה הראה שאפשר לרשום את ההמילטוניאן
בצורה
\( H=Q^{\dag}Q \)
באשר
\( Q \)
ו-
\( Q^{\dag} \)
צמודים הרמיטית.