(6170) משוואת ואן-דר-ואלס
נתונים שני אטומי מימן, כשהגרעינים נקראים
\( a \)
ו-
\( b \)
והאלקטרונים נקראים
\( 1 \)
ו-
\( 2 \)
(בהתאמה).
להמילטוניאנים של האטומים המבודדים נוספת האינטראקציה הקולומבית,
\( {\cal H}_{\mbox{int}}=\frac{e^2}{r_{ab}} \ + \ \frac{e^2}{r_{12}} \ - \ \frac{e^2}{r_{a2}} \ - \ \frac{e^2}{r_{b1}} \)
א. הנח/י כי המרחק בין שני הגרעינים קבוע, ופתח/י את המילטוניאן ההפרעה עד לסדר שני במרכיבי
\( r_{a1} \)
ו-
\( r_{b2} \)
, והראו כי זה נותן אינטראקציה דיפולית בין שני האטומים.
ב.
בקירוב הנ"ל, השתמש/י בבסיס הרגיל של מצבי כל אחד מאטומי המימן, ורשום/י
ביטוי כללי לתיקון לרמת היסוד עד לסדר השני בהפרעה הנ"ל. הראה/י כי תיקון
זה ניתן לכתיבה בצורה
\( -A/{r_{ab}}^6 \)
, וזהה/י את המקדם
\( A \)
באמצעות אלמנטי המטריצה של אטום המימן.
ג. השתמש/י בקירוב
\( E_1-E_0\approx E_1 \)
במכנה של הביטוי שהתקבל, והראה/י כי במקרה זה התיקון לאנרגיה הוא
\( -\frac{a_0}{e^2}\langle 1s|{{\cal H}_{\mbox{int}}}^2|1s\rangle \)
. השתמש/י בקירוב זה כדי להראות כי
\( A\approx6{a_0}^5e^2 \)
.