(4731) חלקיק על קליפה כדורית, דינמיקה
2022B
נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס
\( R \)
וחלקיק בעל מסה
\( M \)
ומטען
\( e \)
.
שימו לב שמשתני התצפית הסטנדרטיים שמתארים את מצב החלקיק הם
\( (\theta,\varphi,L_x,L_y,L_z) \)
.
בשאלה זו עליכם להניח שניתן לעורר את החלקיק מרמת היסוד לרמות האנרגיה המעוררות הראשונה והשניה,
אך לא מעבר לכך. מכאן שמרחב המצבים הוא 9 מימדי
\( |\ell=0,1,2; m\rangle \).
מכינים את החלקיק כך שהוא מרוכז ככל האפשר
לאורך קו המשווה
של הקליפה, בצורה איזוטרופית, עם הסתברות אפס למצוא אותו בקטבים.
החלקיק מבצע תנודות בין קו המשווה לקטבים, כך שמצבו בכל רגע הוא סופרפוזיציה של חלק ממצבי הבסיס.
(1) מה האנרגיה של כל אחד ממצבי הבסיס. הגדר את מצב היסוד כאנרגיה אפס.
(2) רשום את פונקצית הגל
\( \Psi(\theta,\varphi) \)
של החלקיק בזמן
\( t=0 \)
.
(3) מה זמן המחזור
\( T_0 \)
של התנודות?
(4) מוסיפים למערכת הבלתי מופרעת שדה חשמלי אחיד
\( f \)
בכיוון ציר Z.
מה המימד של תת-המרחב שבו מתבצעות התנודות?
רשמו את המטריצות
"\( H_0{+}V_f \)"
שמייצרות את הדינמיקה בתת מרחב זה.
את המקדמים הנומריים שאינם אפס אין צורך לחשב: לדוגמה, במקום
\( 4\pi R^2 \)
רישמו
\( \# R^2 \).
(5) נניח שהשדה החשמלי לא היה אחיד אלא מתואר באמצעות
\( f(z) = gz \)
בכיוון ציר Z.
מה המימד של תת-המרחב שבו מתבצעות התנודות?
רשמו את המטריצות
"\( H_0{+}V_g \)"
שמייצרות את הדינמיקה בתת מרחב זה (אין צורך לחשב מקדמים נומריים).
(6) בהמשך לסעיף 5. הניחו שהכינו את החלקיק במצב
\( |\ell=0\rangle \).
אחרי פרק זמן קצר מאוד ההסתברות למצוא אותו במצב מעורר היא
\( P(t) = at^2 \).
חשבו את המקדם בנוסחא זו (כולל הפקטור הנומרי).
נתון:
\( Y^{0,0} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}},\,\,\,\,\,\, Y^{1,0} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,\,\,\,\,\,\, Y^{2,0} = \sqrt{\frac{5}{16\pi}}[3\cos^2\theta -1] \)
טיפ: לצורך חישוב אלמנט מטריצה ללא התעסקות באינטגרל, אפשר להביע את האינטנגרנד באמצעות הפונקציות הנ"ל.