(2670) פיזור אינאלסטי של חלקיק במימד אחד
2016C
בבעיה זו נדרש למצוא את מקדם המעבר
\( T \)
בבעית פיזור על אטום בעל שתי רמות.
לחילופין אפשר לפרש את דרגת החופש של האטום כדרגת חופש פנימית של
החלקיק ("ספין").
ההמילטוניאן שמתאר את הבעיה הוא:
\( H = \frac{1}{2M}p^2 - \frac{h}{2} \sigma_z + u \sigma_x \delta(x) \)
בבסיס הסטנדרטי פונקצית הגל של החלקיק תסומן בסימון
\( \psi_{\sigma}(x), \ \ \sigma=\pm \)
את האטום מכינים ברמת האנרגיה הנמוכה (
\( \sigma=+ \)
).
החלקיק משולח אל המטרה עם תנע
\( k_{+} = Mv \)
כך שהאנרגיה הקינטית שלו היא
\( E = (1/2)Mv^2 \)
.
כדי לא לסרבל את התשובות הנח להלן שמסת החלקיק היא
\( M=1 \)
.
(1) רשום את 4 המשוואות שקושרת את
\( \psi_{\sigma}(+0) \)
ואת
\( \psi'_{\sigma}(+0) \)
אל
\( \psi_{\sigma}(-0) \)
ו-
\( \psi'_{\sigma}(-0) \)
.
(2) הנח
\( E>h \)
ושאמפליטודת הגל הפוגע היא
\( A_{+}=1 \)
.
קבל מערכת של 4 משוואות עבור אמפליטות ההחזרה
\( r_{\pm} \)
ואמפליטודות המעבר
\( t_{\pm} \)
.
(3) פתור את מערכת המשוואות עבור
\( t_{\pm} \)
.
(4) הבע את מקדם המעבר
\( T \)
באמצעות
\( t_{\pm} \)
תוך הבחנה בין המקרה
\( E>h \)
והמקרה
\( E<h \)
(5) רשום את הביטוי המפורש עבור
\( T \)
במקרה
\( E>h \)
(6) רשום את הביטוי המפורש עבור
\( T \)
במקרה
\( E<h \)
(7) צייר סכמטית את
\( T \)
כפונקציה של
\( E \)
הדרכה: בסעיף (1) שאל את עצמך מה תנאי התפירה לחלקיק שמקוטב בכיוון X.
שים לב שהמשוואות מתפרדות אם מייצגים את מצבי "הקיטוב" בבסיס כזה.
בסעיף (3) הפתרון מתקבל בקלות על ידי הצבה, ללא צורך בדטרמיננטות.
את התשובות הסופיות יש להביע באמצעות
\( u \)
ובאמצעות
\( k_{\pm} \)
.
את
\( k_{-} \)
יש להגדיר במפורש באמצעות נתוני השאלה תוך
אבחנה בין המקרים השונים.