(2315) הפרדת משתנים
focus question
נתון חלקיק בעל מסה M
במלבן באורך
\( L \)
עם תנאי שפה מחזוריים בכיוון האורכי.
ההמילטוניאן של החלקיק הוא מהצורה
\( H=h(\hat{p}_x,\hat{p}_y,\hat{y}) \)
.
התנע
\( p_x \)
הוא קבוע תנועה עם ערכים עצמיים
\( k \)
.
הבסיס הסטנדרטי להצגת החלקיק הוא
\( |x,y\rangle \)
.
הבסיס לצורך הפרדת משתנים הוא
\( |k,y\rangle \)
.
אנו מחפשים את המצבים העצמיים
\( |k,\nu\rangle \)
.
\( |k,y\rangle = \sum_{x} \chi^{(k)}(x) \, |x,y\rangle \)
רשום מה הם הערכים האפשריים של
\( k \)
, ומה הן הפונקציות
\( \chi^{(k)}(x) \)
.
על פי משפט הפרדת המשתנים
\( H_{k' y',k y} = \delta_{k',k} H^{(k)}_{y',y} \)
באשר
\( H^{(k)}=h(k,\hat{p}_y,\hat{y}) \)
עם אנרגיות עצמיות
\( E_{k,\nu} \)
ופונקציות עצמיות
\( \varphi^{(k,\nu)}(y) \)
\( |k,\nu\rangle = \sum_{y} \varphi^{(k,\nu)}(y) \, |k,y\rangle \)
רשום מה הן הפונקציות
\( \varphi^{(k,\nu)}(y) \)
במקרה של גאומטרית הול.
מכאן נובע שהפונקציות העצמיות בהצגה הסטנדרטית הן
\( \psi^{(k,\nu)}(x,y) = \chi^{(k)}(x) \,\varphi^{(k,\nu)}(y) \)
נתון חלקיק בעל מסה
\( M \)
המוחזק על ידי פוטנציאל מרכזי
\( V(r) \)
.
רשום את ההמילטוניאן של החלקיק. המילטוניאן זה מתחלף עם חבורת הסיבובים.
הגדר את הבסיס
\( |\ell, m ,r\rangle \)
עבור הפרדת משתנים.
הסבר כיצד מתפרקת ההצגה של חבורת הסיבובים מעל מרחב הפונקציות בבסיס זה.
רשום את ההמילטוניאן בבסיס החדש.
וודא שהוא בעל מבנה בלוקים
\( H_{\ell' m' r',\ell m r} = \delta_{\ell',\ell} \delta_{m',m} H^{(\ell)}_{r',r} \)
.
הסבר מדוע האינדקס
\( m \)
אינו מופיע בהצגה המטריצית של ההמילטוניאן.
הסבר את המשמעות מבחינת ניוונים.