(2310) סימטריות ומשמעותם
focus question
להלן אנו מתיחסים להמילטוניאנים וטרנספורמציות שאינם תלויים בזמן.
אנו אומרים שהמילטוניאן הוא סימטרי ביחס לטרספורמציה
\( S \)
אם
\( H'=H \)
.
מכאן נובע ש-
\( H \)
מתחלף עם
\( S \)
.
אם ההמילטוניאן סימטרי ביחס לחבורה של טרנספורמציות, אז הוא גם מתחלף עם היוצרים.
הנח שההמילטוניאן
\( H \)
מתחלף עם אופרטור כלשהוא
\( A \)
.
יהי
\( | a, \nu \rangle \)
בסיס שבו
\( A \)
הוא אלכסוני.
הסבר מדוע נובעות מכך הטענות הבאות:
-
ערך התוחלת
\( \langle\Psi(t) | A | \Psi(t) \rangle \)
אינו משתנה במהלך האבולוציה.
-
אם
\( \Psi(0) \)
הוא מצב עצמי של
\( A \)
, אז גם
\( \Psi(t) \)
הוא מצב עצמי של
\( A \)
.
-
ההמילטוניאן הוא block-diagonal בבסיס
\( | a, \nu \rangle \)
שבו
\( A \)
הוא אלכסוני.
נתון שאופרטור
\( H \)
מתחלף עם יוצרים של חבורה לא קומוטטיבית.
יהיו
\( |n, r\rangle \)
המצבים העצמיים של
\( H \)
באשר
\( r \)
הוא אינקס הניוון.
-
הסבר מדוע כל תת-מרחב מנוון מהווה הצגה של החבורה.
-
הוכח בדרך השלילה את המשפט ההפוך: תת-מרחב בלתי פריק חייב להיות מנוון באנרגיה.
-
כיצד קשור הניוון למימדים של ההצגות הבלתי פריקות?
-
מדוע חייב להיות ניוון?
הסבר את הקביעה הבאה: הניוון הוא "פיצוי" על כך שהסימטריה
של כל אחד מהמצבים המנוונים (בנפרד) היא נמוכה יותר מהסימטריה של ההמילטוניאן.