(1370) מערכת עם שלושה אתרים, הפרעה
2004C1
חלקיק יכול להמצא בתוך אחד מתוך שלשה אתרים המאורגנים בצורת טבעת משולשת.
מגדירים אופרטור מקום שיכול לקבל את הערכים
\( x=-1,0,1 \)
,
ואופרטור שיקוף
\( R \)
אשר פעולתו היא
\( |x\rangle \mapsto |-x\rangle \)
(א) רשום את ההצגה המטריצית של
\( x \)
ושל
\( R \)
.
ההמילטוניאן
\( H \)
שמתאר את תנועת החלקיק על גבי הטבעת המשולשת הוא:
\( H=\left(\array{0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0}\right) \)
(ב) רשום את המצבים העצמיים
\( |k\rangle \)
ואת האנרגיות העצמיות
\( E_k \)
של המערכת. באשר
\( k \)
הוא התנע.
(ג) רשום בסיס חליפי של מצבים עצמיים שהם בעלי סימטריה מוגדרת ( (
S/A
ביחס לשיקוף.
(השתמש בסימון
\( |S\rangle, |A\rangle \)
עבור מצבי האנרגיה הגבוהים) .
מכינים חלקיק ברמת היסוד
\( |S0\rangle \)
.
מפעילים פולס
\( f(t) = \varepsilon \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t}{\tau}\right)^2\right) \)
כך שההמילטוניאן הכולל הוא
\( H_{total} = H + f(t)V(x) \)
.
להלן השתמש בתורת הפרעות סדר ראשון על מנת לבצע את החישובים.
(ד) מה ההסתברות למצוא את החלקיק לאחר גמר הפולס במצב
\( |S\rangle \)
אם
\( V(x)=x \)
.
(ה) מה ההסתברות למצוא את החלקיק לאחר גמר הפולס במצב
\( |S\rangle \)
אם
\( V(x)=x^2 \)
.