(1324) מערכת עם ארבע אתרים \( (N=4) \)

• על פי הגדרה מתקיים \( \hat{x} |x\rangle = x |x\rangle \)
• על פי הגדרה מתקיים \( D |x\rangle = | x{+}1 \rangle \)
• את הערכים העצמיים של \( D \) נסמן בסימון \( \exp(ik) \) . (מדוע מתבקש סימון כזה?)
  
• את המצבים העצמיים של \( D \) נסמן בסימון \( |k\rangle \)
• המצבים העצמיים של \( D \) מיוצגים על ידי וקטורי עמודה \( \psi(x) = \langle x | k \rangle \)
• אופרטור התנע מוגדר באמצעות הנוסחא \( \hat{p} |k\rangle = k |k\rangle \)

1. רשום\רשמי הצגה מטריצית של האופרטורים \( \hat{x}, D \) בבסיס הנקבע על ידי \( \hat{x} \) .
   
2. מה הם הערכים האפשריים של \( k \) (מודולו?)
3. רשום ביטוי מפורש עבור הוקטורים העצמיים
4. הבע את \( D \) באמצעות \( \hat{p} \)

5. השתמש\י בחופש הכיול ורשום את ההמילטוניאן \( H \) הכללי ביותר שיכול לתאר את הדינמיקה.
6. כמה פרמטרים ופאזות מופיעים בהמילטוניאן?
7. ענה\י על אותם שאלות אם נתון שמותרים מעברים רק בין אתרים סמוכים.
8. הנח\הניחי בנוסף שהמערכת סימטרית תחת הזזות, והבע\הביעי את \( H \) באמצעות \( D \) .
9. במקרה האחרון - רשום גם ביטוי אופציונלי עבור \( H \) באמצעות \( p \) .
10. במקרה האחרון - רשום ביטוי עבור האנרגיות העצמיות