(9722) Electrons in atomic orbitals - exchange
נתונות פונקציות הגל
\( \varphi^{(1)}(\vec{x}), \varphi^{(2)}(\vec{x}) \)
של שני אורביטלים מרחביים.
המצבים החד חלקיקים של אלקטרון הם
\( r = (j,s) \ \ \text{where} \ \ j=1,2 \ \ \text{and} \ \ s=\uparrow, \downarrow \).
הניחו ששמים אלקטרון אחד בכל אורביטל, כך שמרחב המצבים הוא ממימד 4.
-
רשמו עבור אינטראקציה קולונית את האינטגרלים שצריך לבצע כדי לחשב את
\( K = \langle 1,2|U|1,2 \rangle = \text{direct interaction} \)
\( J = \langle 2,1|U|1,2 \rangle = \text{exchange interaction} \)
-
לצורך קבלת ביטויים מפורשים עבור
\( K,J \)
הניחו שאפשר לבצע קרוב שני אתרים, כך שהאורביטלים הם
\( |1\rangle = a |x_1 \rangle + b |x_2 \rangle \)
\( |2\rangle = a |x_2 \rangle - b |x_1 \rangle \)
הניחו שהתוצאה של האינטגרל הקולוני היא
\( u \)
אם יש שני אלקטרונים באותו אתר,
והיא
\( u_{\perp} \)
אם יש שני אלקטרונים לא באותו אתר.
-
הגדירו בשפה של קוונטיזציה ראשונה את מצבי הבסיס
\( | (r',r) \rangle = a^{\dagger}_{r'} a^{\dagger}_{r} | \text{vaccum} \rangle \)
-
הגדירו בשפה של קוונטיזציה ראשונה את מצבי הסינגלט והטריפלט. הסבירו מה הטרנספורמציה בין הבסיסים.
-
רישמו את ההמילטוניאן של המערכת בשני הבסיסים.
מתוך כך, הראו שמצבי הסינגלט והטריפלט הם המצבים העצמיים.
מה הן האנרגיות העצמיות?
-
הסבירו מדוע ההמילטוניאן האפקטיבי ניתן לרישום בצורה
\( H = -2J \, S^A \cdot S^B + \text{const} \)