(8361) Reolvent for particle on a ring
בשאלה זו עליכם למצוא ביטוי סגור עבור הסכום
\( f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z-n} \)
לשם כך הניחו שיש חלקיק חופשי בטבעת שרדיוסה
\( R \)
וחשבו את הרזולבנט עבור אנרגיה ממשית
\( z = E \)
-
עבור רדיוס נתון
\( R \)
מה צריך להיות ההמילטוניאן
\( H=h(p) \)
על מנת שהקטבים של הרזולבנט יהיו באנרגיות
\( E_n=n \)
-
רישמו את הפונקציות העצמיות
\( \psi^{(n)}(x) \)
של החלקיק בטבעת,
ורשמו את הרזולבנט כסכום על ידי שימוש בפונקציות האלה.
-
רישמו משוואה דיפרנציאלית עבור פונקצית הרזולבנט
\( G(x) = G(x|0) \).
מיצאו מה הם תנאי התפירה בנקודת המקור
\( x_0 = 0 \)
-
רישמו את הפתרון עבור
\( G(x) \)
ציינו מה הן שתי הנקודות שבהן הפונקציה ממשית.
-
השתמשו בתוצאה של הסעיף הקודם על מנת למצוא ביטוי סגור עבור
\( f(z) \)
את כל התשובות יש להביע באמצעות הסימונים שהוגדרו בשאלה!
ללא הגבלת הכלליות השתמשו ביחידות אורך כך שמתקיים
\( R=1 \)