(7680) דעיכת גאמוב מתוך טבעת
2011B
חלקיק בעל מסה
\( M \)
כלוא בתוך התקן חד מימדי שאורכו
\( L_0 \)
.
אל ההתקן החד מימדי ניתן להתיחס כאל "בור פוטנציאל"
\( (0<x<L_0) \)
עם תנאי שפה אפס בקצוות.
מכינים את החלקיק באחת מרמות האנרגיה
\( E_n \)
באשר
\( n=1,2,3,4... \)
.
מהירות החלקיק בתוך הבור מוגדרת באמצעות הביטוי
\( v_n=(2E_n/M)^{1/2} \)
.
החלקיק יכול לברוח אל מצבי
\( k \)
של מוליך חד מימדי ארוך מאוד.
אופן הצימוד של ההתקן אל המוליך מתואר בשרטוט.
אל נקודת החיבור נתייחס כאל "מחסום דלתא"
\( V(r)=u\delta(r) \)
.
אלמנטי המטריצה של הצומת הם
\( V_{nk} = -\frac{1}{4M^2 u} [\partial \psi^{(n)}] [\partial \psi^{(k)}] \)
,
באשר
\( \partial \)
היא הניגזרת בכיוון הרדיאלי (הקואורדינטה
\( r \)
מכוונת מהצומת כלפי חוץ).
מקדמי המעבר (
transmission
) של נקודת החיבור הם
\( g_1, g_2 \ll 1 \)
.
להלן יש להביע את כל התשובות באמצעות
\( (L_0, M, v_n, g_1,g_2) \)
.
(1) שאלה מקדימה: רשום מה הן רמות האנרגיה
\( E_n \)
ופונקציות הגל העצמיות
\( \psi^{(n)}(x) \)
.
(2) רשום ביטוי מפורש עבור אלמנטי המטריצה
\( V_{nk} \)
בין מצבי ההתקן לבין מצבי המוליך.
(3) רשום ביטוי מפורש עבור צפיפות מצבי האנרגיה
\( (dN/dE) \)
בתוך המוליך הארוך.
(4) מצא את קבוע הדעיכה
\( \Gamma_n \)
של כל אחד מהמצבים.
(5) הכלל את הנוסחא למקרה שבו יש שטף מגנטי
\( \Phi \)
דרך הטבעת. הנח שמטען החלקיק הוא e.
הדרכה + רמזים:
בסעיף (2) הנח
\( g_2=0 \)
. בנוסף הנח
\( E_k \approx E_n = (1/2)Mv_n^2 \)
.
בשלבי הביניים ניתן להניח שאורך המוליך הארוך הוא
\( L \)
(סופי),
אך בתשובה הסופית של סעיף (4) נתון זה אמור "להצטמצם".
הנוסחא לעבירות של מחסום דלתא גדול מאוד היא
\( g \approx (v_n/u)^2 \)
.
סעיף (5) לא דורש עבודה אלגברית נוספת אלא הבנה פיסיקלית בלבד.