(7212) העברה אדיאבטית לאורך שרשרת
2019A
בבעיה זו אנו מתיחסים לשרשרת עם מספר אי זוגי של אתרים.
לצורך מתן תשובות נניח שמדובר בשרשרת שמורכבת מ-5 אתרים
\( x=1,2,3,4,5 \)
.
תדירויות הקפיצה בין האתרים הן
\( (a,b,a,b) \)
באשר
\( a=c\sin(\theta); \ b=c\cos(\theta) \)
.
האנרגיה הפוטנציאלית בכל האתרים היא אפס, למעט באתר השני שם היא
\( V \)
.
בהתחלה שמים חלקיק באתר הראשון, ואז משנים בהדרגה את פרמטר הבקרה
מהערך
\( \theta=0 \)
לערך
\( \theta=\pi/2 \)
בקצב
\( \dot{\theta} \)
.
(1) עבור
\( V=0 \)
רשום את המטריצה
\( R \)
שמיצגת פעולת כיול כך שמתקיים
\( R^{-1}HR = -H \)
.
מכאן אנו מסיקים שיש להמילטוניאן מצב עצמי עם ערך עצמי
\( E=0 \)
.
(2) עבור
\( V=0 \)
רשום בבסיס הסטנדרטי את המצב האדיאבטי המשתמע מתנאי
ההתחלה.
איפה יהיה החלקיק בסוף תהליך אדיאבטי?
האם התשובה תלויה במחסום הפוטנציאל
\( V \)
?
(3) עבור
\( V=0 \)
רשום את האנרגיות העצמיות עבור
\( \theta=0 \)
ועבור
\( \theta=\pi/4 \)
.
טיפ: שים לב שבמקרה השני הבעיה זהה פורמאלית לבור-פוטנציאל ברוחב
\( L=6 \)
.
(4) כנ"ל אם מתקיים
\( V\gg c \)
.
מספיק leading order (סדר אפס/ראשון/שני בהתאם לנסיבות).
סעיף זה דורש ליכסון של מטריצה 3x3 על מנת לקבוע את אחת האנרגיות.
יש להקפיד על הנכונות של המקדם המספרי בתוצאה.
(5) צייר שרטוט סכמטי של האנרגיות העצמיות כפונקציה של
\( \theta \)
עבור
\( V=0 \)
.
צייר שרטוט סכמטי של האנרגיות העצמיות כפונקציה של
\( V \)
עבור
\( \theta=0 \)
.
יש להקפיד שהציור יהיה ברור ולא מקושקש.
(6) מה התנאי האדיאבטי על
\( \dot{\theta} \)
.
הבחן בין המקרה
\( V=0 \)
והמקרה
\( V\gg c \)
.
פקטורים נומריים לא חשובים.
טיפ: גם בלי לפתור את סעיפים (1-2) עדיין אפשר להתמודד בהצלחה עם שאר
הסעיפים.