(6210) אפקט שטרק באטום המימן
2011A
האלקטרון באטום המימן הוא חלקיק בעל מסה M ומטען e שרואה פוטנציאל
\( V(r)=-\alpha/r \)
. להלן נניח שההסתברות למצוא את החלקיק ברמת אנרגיה מעוררת
\( 2<n \)
היא זניחה כך שמרחב המצבים של החלקיק הוא בעל מימד 5, ונפרס על ידי שני
אורביטלים כדוריים ושלושה אורביטלים פולריים כך שהבסיס להצגה הוא
\( |s1\rangle, |s2\rangle, |px\rangle, |py\rangle, |pz\rangle \)
. אנו מזניחים את אינטראקצית
ספין-מסילה כך שאפשר להתעלם מהספין. את האטום שמים בשדה חשמלי אחיד
\( \mathcal{E} \)
בכיוון ציר Z, וכתוצאה מכך הוא מתקטב. מטרת השאלה היא חישוב הפולריזציה של האטום
\( \tilde{P}(\mathcal{E})=e\langle z \rangle \)
. את
התשובות יש לבטא באמצעות
\( (M,a,e,\mathcal{E},c_1,c_2) \)
באשר
\( a=1/(\alpha M) \)
הוא רדיוס האטום של בוהר, ובאשר
\( c_1 =8\sqrt{2}/9, \ \ c_2=3\sqrt{3} \)
. יש להתיחס להנחיות שבסוף השאלה ולהמנע מעבודה שחורה.
-
רישמו את ההמילטוניאן בצורה הסטנדרטית באמצעות המשתנים הדינמיים
\( H(p_r,L,r,\theta; \mathcal{E}) \)
-
רישמו את שתי המטריצות שמיצגות את ההמילטוניאן הבלתי מופרע, ואת האינטראקציה עם השדה החשמלי.
-
רישמו את הביטוי לאנרגית מצב היסוד
\( E_{gr}(\mathcal{E}) \)
בקרוב של תורת הפרעות סדר שני.
-
רישמו את הביטוי לאנרגית המצב המעורר הנמוך
\( E_{ex}(\mathcal{E}) \)
-
רישמו את הביטוי עבור הפולריזציה של האטום אם הכינו אותו במצב היסוד
-
רישמו את הביטוי עבור הפולריזציה של האטום אם הכינו אותו ברמה המעוררת
את הפונקציות הרדיאליות של האלקטרון באטום המימן ניתן לרשום באופן
\( \frac{1}{a^{3/2}}R^{\ell\nu}\left(\frac{r}{a} \right) \)
,
באשר
\( R^{01}=2e^{-x}, \ \ R^{02}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\frac{x}{2}\right)e^{-x/2}, \ \ R^{11}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-\frac{x}{2}\right)e^{-x/2} \)
.
הנחיות: בסעיף 2 מופיעים שני אינטגרלים רדיאליים. התוצאה של האינטגרל שכולל את
\( R^{01} \)
כוללת מקדם מספרי
\( c_1 \)
. התוצאה של האינטגרל שכולל את
\( R^{02} \)
כוללת מקדם מספרי
\( c_2 \)
.
יש לבטא את התשובות באמצעות מקדמים אלו (ללא הצבה מספרית). על מנת לקבל את
מלוא הנקודות הביטוי צריך להיות נכון גם מבחינת המקדמים המספריים הנוספים
שמופיעים בחישוב. את התשובות לסעיפים 5-6 אפשר לקבל בדרך פשוטה מאוד ללא
צורך בחישובים מיגעים.