(6040) קופסא דו מימדית עם קיר מוזז, תורת הפרעות
2010B
נתון חלקיק בעל מסה M בקופסא דו-מימדית ריבועית
\( x,y\in[0,a] \)
בעלת צלע a.
ההזזה של הקיר השמאלי מתוארת על ידי הפונקציה
\( x=\epsilon(y) \)
.
אילו הקופסא היתה חד מימדית איבר ההפרעה בהמילטוניאן היה
\( \langle \varphi |V | \psi \rangle =\left(\frac{\epsilon}{2M}\right) \left[ \frac{\partial\varphi}{\partial x}\right]\left[\frac{\partial\psi}{\partial x}\right] \)
באשר אנו מניחים הזזה קטנה, והנגזרות מחושבות בנקודה
\( x=0 \)
.
(1) רשום את ההכללה הדו-מימדית של הנוסחא לעיל (דורש הבנה בלבד).
הנח שהקיר מוטה בזוית קטנה כך שמתקיים
\( \epsilon(0)=-\epsilon_0/2 \)
וכן
\( \epsilon(a)= +\epsilon_0/2 \)
(2) רשום את מטריצת ההמילטוניאן עבור שלושת המצבים הנמוכים ביותר (בבסיס הלא מופרע).
(3) רשום את התיקון המוביל לאנרגית מצב היסוד.
(4) רשום את התיקון המוביל לאנרגיות של המצבים המעוררים.
נתון:
\( \int_0^{\pi/2}\cos(u)\sin(2u)udu = \frac{4}{9} \)