(5662) רמות לנדאו בגרפין
2010A
ההמילטוניאן האפקטיבי של אלקטרון בשכבה דו מימדית של גרפין הוא
\( H = v_0 \sigma \cdot (p-eA) \)
באשר
\( \sigma=(\sigma_x,\sigma_y,0) \)
ובאשר A הוא הוקטור פוטנציאל עבור שדה אנכי B בכיול לנדאו.
שים לב שהבסיס הסטנדרטי להצגת האלקטרון הוא
\( |x,y,m\rangle \)
באשר
\( m=\uparrow,\downarrow \)
(1) בהעדר שדה מגנטי, עבור תנע נתון
\( p=(p_x,p_y) \)
,
מה הן האנרגיות העצמיות של החלקיק?
(2) בכיול לנדאו האופרטור
\( \hat{Y}=-(1/eB)\hat{p}_x \)
הוא קבוע תנועה.
רשום את ההמילטוניאן
\( H^{Y} = H_{m,m'}(p_y,\,y-Y) \)
שמתקבל לאחר הפרדת משתנים.
כדאי לזכור שקומבינציה לינארית של קואורדינטות קנוניות
\( a=(sQ+iP/s)/\sqrt{2} \)
זה אופרטור הורדה,
ולרשום את המטריצה המתקבלת בצורה האלטרנטיבית
\( H_{m,m'}(a,a^{\dag}) \)
(3) הגדר את האופרטור
\( C = (H^{Y})^2 \)
רשום מה הם הערכים העצמיים
\( \lambda_{n=0,1,2,...} \)
של C
שים לב שכל הערכים העצמיים למעט
\( n=0 \)
הם מנוונים.
(4) כיוון ש C הוא קבוע תנועה ניתן לבצע הפרדת משתנים נוספת.
רשום את המטריצה 2x2 שמיצגת את
\( H^{Y,n} \)
(5) מצא את רמות האנרגיה
\( E_{Y,n,\pm} \)
עבור
\( n>0 \)
.
(6) מצא את המצבים העצמיים, ורשום אותם בבסיס הסטנדרטי.
שים לב שהמצב הקוונטי בבסיס הסטנדרטי מיוצג באמצעות
\( \Psi \mapsto (\psi_{\uparrow}(x,y),\psi_{\downarrow}(x,y)) \)
ניתן להשתמש בסימון
\( \varphi^{n}() \)
עבור הפונקציות העצמיות של אוסצילטור הרמוני חד מימדי.