(4730) חלקיק על קליפה כדורית, דינמיקה
2007A
נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס
\( R \)
וחלקיק בעל מסה
\( M \)
ומטען
\( e \)
.
שים לב שמשתני התצפית הסטנדרטיים שמתארים את מצב החלקיק הם
\( (\theta,\varphi,L_x,L_y,L_z) \)
.
בשאלה זו עליך להניח שניתן לעורר את החלקיק מרמת היסוד לרמת האנרגיה
הראשונה,
אך לא מעבר לכך. מכאן שמרחב המצבים הוא ארבע מימדי.
סמן את מצבי הבסיס בסימון
\( |0\rangle, |\uparrow\rangle, |\updownarrow\rangle,|\downarrow\rangle \)
.
מכינים את החלקיק כך שהוא "מרוכז" ככל האפשר "בקוטב הצפוני" של
הקליפה.
החלקיק מבצע תנודות בין הקוטב הצפוני לבין הקוטב הדרומי.
(1) מה האנרגיה של כל אחד ממצבי הבסיס. הגדר את מצב היסוד כאנרגיה אפס.
(2) רשום את פונקצית הגל
\( \Psi(\theta,\varphi) \)
של החלקיק בזמן
\( t=0 \)
.
(3) מה זמן המחזור
\( T_0 \)
של התנודות?
(4) מוסיפים למערכת הבלתי מופרעת שדה מגנטי אחיד
\( \mathcal{B} \)
בכיוון ציר X.
רשום את איבר ההפרעה (של זימן) באמצעות משתני התצפית הסטנדרטיים.
מצא ערך של
\( \mathcal{B} \)
שגורם לכך שבזמן
\( T_0/2 \)
החלקיק חוזר למצב התחילי.
(5) מוסיפים למערכת הבלתי מופרעת שדה חשמלי אחיד
\( \mathcal{E} \)
בכיוון ציר Z.
רשום את איבר ההפרעה (של סטארק) באמצעות משתני התצפית הסטנדרטיים.
מצא את זמן המחזור
\( T \)
של התנודות.
נתון:
\( Y^{00} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}},\,\,\,\,\,\, Y^{10} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,\,\,\,\,\,\, Y^{1,\pm1} \propto \sin(\theta) \)
סעיפים (2) ו-(4) דורשים "חשיבה". התשובה היא פשוטה ואינה מצריכה
"אלגברה".