(3710) אלקטרון בגאומטריה של אפקט הול, באר כפולה
2013B
נתון דגם מלבני דו מימדי ארוך. במימד האורכי
\( 0 < x < L \)
הניחו תנאי שפה מחזוריים.
הדגם מצוי בשדה מגנטי אנכי
\( \vec{B} = (0,0,B(y)) \)
.
רוחב הדגם מאפשר איכלוס של 3 אלקטרונים חסרי ספין ברמת לנדאו התחתונה.
כל אלקטרון הוא בעל מסה
\( m \)
ומטען
\( e \)
.
בסעיפים 1-3 הניחו שדה הומוגני
\( B(y)=B_0 \)
בכיוון ציר Z.
בסעיפים 4-6 הניחו שהפכו את כיוון השדה המגנטי בחצי המישור התחתון
\( B(y<0)=-B_0 \)
(1) רישמו את ההמילטוניאן של אלקטרון בדגם זה.
(2) רישמו את הפוטנציאל האפקטיבי
\( V^{\ell}(y), \, [\ell=0,\pm] \)
שמתקבל לאחר הפרדת משתנים.
(3) רישמו את פונקציות הגל
\( \Psi^{0,\pm}(x,y) \)
של שלושת האלקטרונים.
הניחו שריצפת הפוטנציאל שטוחה כך ששלושת המצבים מנוונים באנרגיה.
(4) רישמו וציירו סכמטית את הפוטנציאלי האפקטיבי
\( V^{\text{eff}}(y) \)
עבור כל אחד משלושת האלקטרונים בשדה המגנטי החדש.
(5) רישמו ביטויים מקורבים עבור פונקציות הגל החדשות.
(6) רישמו על סמך WKB ביטוי עבור פיצול האנרגיה
\( \Delta=C\exp(-A) \)
של המצבים החדשים.
הדרכה:
יש להביע את התשובות באמצעות הנתונים.
על מנת לפשט ביטויים מותר ורצוי להשתמש בסימון
\( \omega_B=eB_0/m \)
.
כמו כן מותר ורצוי להשתמש בסימון
\( \varphi _0(r) = (m\omega_B/\pi)^{1/4}\exp(-\frac{1}{2}m\omega_B r^2) \)
בסעיף 6 יש לספק ביטויים מפורשים עבור A, C
בחישוב A יש להזניח את האנרגיה הקינטית ביחס לגובה המחסום.