(2122) מצב קשור באתר שמצומד למוליך חד מימדי
2012A
בבעיה זו נדרש למצוא את אנרגית המצב הקשור E של חלקיק במערכת שכוללת אתר
המצומד למוליך חד מימדי.
החלקיק הוא בעל מסה M. המוליך החד מימדי הוא אינסופי
\( x\in[-\infty,\infty] \)
.
האתר שבו קשור החלקיק מצוי בסמיכות לנקודה
\( x_0 \)
.
אילו האתר היה מופרד מהמוליך אנרגית הקשר של החלקיק היתה
\( E_0 \)
.
בפועל האתר מצומד למוליך, וההמילטוניאן הוא
\( H = H_{free} \,+\, |0\rangle E_0\langle 0| \, +\, |x_0 \rangle \lambda \langle 0| \, +\, |0 \rangle \lambda \langle x_0| \)
where \( H_{free} \) is the Hamiltonian of a free particle along the wire.
ההצגה הסטנדרטית של פונקצית הגל בבסיס המקום היא
\( \Psi \mapsto (\psi_0, \psi(x)) \)
באשר האמפליטודות הן
\( \psi_0 = \langle 0|\Psi\rangle, \ \ \ \ \psi(x) = \langle x|\Psi\rangle \)
עם קונבנצית נירמול
\( |\psi_0|^2+\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx =1 \)
(1) רשום בהצגה הסטנדרטית את
\( \langle 0 |H| \Psi \rangle \)
.
(2) רשום בהצגה הסטנדרטית את
\( \langle x|H| \Psi \rangle \)
.
רשום את מערכת המשוואות
\( H |\Psi\rangle = E |\Psi\rangle \)
בהצגה מרחבית.
טיפ: הטל על המצבים
\( \langle 0|, \ \ \langle x| \)
והשתמש בתוצאות הסעיפים הקודמים.
על ידי חילוץ הראה שמקבלים משוואה סגורה עבור
\( \psi(x) \)
עם פוטנציאל אפקטיבי
\( V(x;E) \ \ = \ \ u(E) \ \delta(x-x_0) \)
שים לב שבשלב זה אנו מתיחסים לאנרגית הקשר E כאל נתון ידוע.
טיפ: ללא הגבלת הכלליות אפשר להניח שהמיקום
\( x_0 \)
הוא ראשית מערכת הצירים.
(3) רשום את הביטוי עבור
\( u(E) \)
(4) רשום משוואה עבור אנרגית הקשר
\( E \)
(5) פתור את המשוואה במקרה הפרטי
\( E_0=0 \)