(1390) מערכת עם ארבעה אתרים, זרם
2004B
נתונה מערכת בת ארבעה אתרים (ראה שרטוט). היא מתוארת באמצעות
ההמילטוניאן
\( H=\left(\array{0 & c_0 & 0 & c \\ c_0 & 0 & c & 0 \\ 0 & c & 0 & c_0 \\ c & 0 & c_0 & 0}\right) \)
נתון שמטען החלקיק שנע במערכת הוא
\( e \)
.
(1) רשמו את ההמילטוניאן המתקבל אם מוסיפים שטף מגנטי
\( \Phi \)
דרך הלולאה המחברת את שני האתרים הראשונים,
והגדירו בהתאם את אופרטור הזרם דרך לולאה זו.
להלן אנו מניחים שהשטף המגנטי הוא אפס.
(2) רשמו בבסיס הסטנדרטי את המצבים העצמיים ואת האנרגיות העצמיות כאשר
\( c=0 \)
.
השתמשו בסימון המתבקש (ימין/שמאל/סימטרי/אנטיסימטרי)
\( |SR\rangle, |SL\rangle, |AR\rangle, |AL\rangle \)
.
(3) רשמו את ההמילטוניאן המקורי
\( ( c{\ne}0, \,\, \Phi{=}0 ) \)
בבסיס החדש שמצאתם לעיל.
(4) רשמו את האנרגיות העצמיות
\( E_1, E_2, E_3, E_4 \)
,
ואת המצבים העצמיים
\( |E_1\rangle, |E_2\rangle, |E_3\rangle, |E_4\rangle \)
של המערכת
כסופרפוזיציה של המצבים
\( |SR\rangle, |SL\rangle, |AR\rangle, |AL\rangle \)
.
(5) רשמו את מצבי האנרגיה לעיל גם בבסיס הסטנדרטי.
(6) מכינים את החלקיק באתר מספר אחד:
\( | \Psi(t=0) \rangle = |1\rangle \)
חשבו את הזרם שזורם דרך הלולאה כפונקציה של הזמן
\( \langle I \rangle_t = \langle \Psi(t) | I | \Psi(t) \rangle \)
להלן סעיפי "בונוס" שלא ניכללו בגרסא המקורית של השאלה. בסעיפי הבונוס אתם מתבקשים לספק דרך אופציונלית לפתרון הבעיה שמאפשרת רישום של הפתרון by inspection ללא צורך בשום חישוב. טיפ: לצורך כך נוח לסמן את מצבי הבסיס בסימון
\( |x,y \rangle \)
(7) ההמילטוניאן הוא ספרבילי. רשמו אותו כסכום של שני איברים בצורה
\( H = H^{(x)} + H^{(y)} \)
(8) השתמשו בספרביליות כדי לרשום את המצבים העצמיים והאנרגיות העצמיות.
טיפ: זו למעשה אותה טכניקה שמשתמשים בה כדי לרשום מצבים עצמיים של חלקיק בקופסא מלבנית.
(9) השתמשו בספרביליות כדי לרשום את המצב
\( | \Psi(t) \rangle \)
על בסיס פתרון ידוע של בעית שני אתרים
(10) רישמו את הפתרון עבור הזרם by inspection