תדירות הקפיצה של חלקיק בין אתרים סמוכים של שרשרת היא
\(-c/2\)
.
בנוסף יוצרים שדה חשמלי
\( f\)
. מטען
החלקיק הוא
\(e=1\).
לצורך נירמולים אפשר להניח שהשרשרת מורכבת מ-
\(L\)
אתרים.
מגדירים אופרטור מקום
\(x\)
עם ערכים
עצמיים
\(n=\text{integer}\)
ואופרטור תנע
\(p\)
עם ערכים עצמיים
\(k\)
(1) רשום את ההמילטוניאן כפונקציה של האופרטורים
\(x,p\)
ופתור את משוואות התנועה הקלאסיות עבור
\((x(t),
p(t))\)
בהנתן תנאי התחלה.
(2) רשום את משוואת המצבים העצמיים בהצגת התנע(!).
מצא את המצבים העצמיים בהצגה זו:
\(\Psi_k =
\langle k | \nu=\text{integer} \rangle \)
מתוך תנאי השפה (בתנע) קבע מה הן האנרגיות העצמיות
\(E_{\nu}\)
(3) רשום מה המצבים העצמיים בהצגת המקום:
\(
\psi_n = \langle n | \nu \rangle\)
(4) הכינו את החלקיק באתר
\(x=n_0\)
מה היא ההסתברות
\(P_t(n|n_0)\)
למצוא אותו באתר
\(n\)
לאחר פרק זמן
\(t\)
.
[סעיף זה דורש מעט אלגברה].
זהויות שימושיות:
\(J_{\ell}(\gamma) = \int_{-\pi}^{\pi}
\frac{d\varphi}{2\pi} e^{i[\ell\varphi - \gamma
\sin(\varphi)]}\)
\(\sin(\varphi)-\sin(\varphi_0) =
2\sin\left(\frac{\varphi-\varphi_0}{2} \right)
\cos\left(\frac{\varphi+\varphi_0}{2} \right)\)