(1328) מעבר דרך צומת בשריג חד-מימדי
2014A
בבעיה זו נדרש למצוא את מקדם המעבר
\( g=|t|^2 \)
של חלקיק בעל תנע
\( k \)
דרך צומת בשריג חד-מימדי (ראה ציור).
נתונים: קבוע השריג
\( a \)
, תדירות הקפיצה
\( c_0 \)
בין אתרים שכנים, ותדירות הקפיצה
\( c_J \)
בין האתרים
\( n=\pm1 \)
.
בסעיף (1) הנח שמדובר בשריג בלתי מופרע, שבו במקום צומת יש אתר נוסף
\( n=0 \)
(1) רשום את ההמילטוניאן הבלתי מופרע
\( H_0 \)
, ואת אופרטור המהירות
\( v \)
כפונקציה של אופרטור התנע
\( p \)
(2) רשום את המטריצה
\( H_{n,m} \)
שמיצגת את ההמילטוניאן המופרע.
מספיק לרשום תת-מטריצה 4x4 עבור
\( n,m=-2,-1,1,2 \)
(3) רשום מערכת של שתי משוואות עבור אמפליטות המעבר וההחזרה
\( (r,t) \)
של הצומת (ראה הדרכה)
(4) רשום ביטוי עבור מקדם המעבר
\( g \)
כפונקציה של
\( k \)
.
(5) עבור
\( c_J \)
גדול מאוד או קטן מאוד
\( g \propto |v_k|^2 \)
. רשום את מקדמי הפרופורציה.
הדרכה:
על מנת לפתור את בעית הפיזור הנח גל פוגע מצד שמאל
\( \psi_n=e^{ikx_n}+re^{-ikx_n} \)
וגל עובר בצד ימין של הצומת
\( \psi_n= te^{ikx_n} \)
באשר נקודות השריג הן
\( x_n= na \)
.
שתי המשוואות שמתקבלות מתוך
\( H\psi=E_k\psi \)
נראות עם הרבה איברים במבט ראשון -
אך למעשה רוב האיברים מתחסלים, ומתקבלת מערכת משוואות מאוד פשוטה.
נא להשתמש בנתוני השאלה בלבד!