(1322) המילטוניאן של מערכת 4 אתרים / שני קיוביטים
נתונה מערכת 4 אתרים המסודרים בצורת "ריבוע". ניתן לחשוב על המערכת כעל "טבעת". המיקום של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור
מיקום \( \hat{x} \) שיכול לקבל ערך שלם \( x \) (מודולו 4), אופרטור ההזזה \( \hat{D} \) מזיז את החלקיק צעד אחד נגד כיוון השעון. המצבים העצמיים
שלו הם מצבי התנע. אופרטור התנע מוגדר כמקובל \( \hat{p} |k\rangle = k |k\rangle \). בהמשך השאלה נתון שהמערכת סימטרית תחת הזזות. אמפליטודת הקפיצה בין אתרים סמוכים היא \( c \), ואין שדה מגנטי.
- רשמו את אופרטור המיקום \( \hat{x} \), המוגדר על פי \( \hat{x} |x\rangle = x |x\rangle \).
- רשמו את אופרטור ההזה \( \hat{D} \) בבסיס הנקבע על ידי \( \hat{x} \).
- מצאו את הערכים והוקטורים העצמאים של אופרטור ההזה.
- רשמו את ההצגה של אופרטור ההזה על ידי אופרטור התנע \( \hat{p} \).
- רשמו את ההמילטוניאן של המערכת.
- הביעו את ההמילטוניאן בעזרת אופרטור ההזזה.
- רשמו ביטוי של ההמילטוניאן בעזרת אופרטור התנע ומצאו את האנרגיות העצמאיות.
קיימת פרשנות אופציונלית של המערכת. אפשר להגיד שמדובר במערכת של שני קיוביטים. מצבי הבסיס הם \( |q_1,q_2\rangle \) באשר \( q=0,1 \) הם המצבים של קיוביט.
- הסבירו מדוע מדובר בהמילטוניאנים זהים מבחינה מתמטית.
- סמנו את המצבים העצמיים של כל קיוביט בסימון \( | \pm \rangle \)
- רשמו את האנרגיות של המצבים העצמיים \( |+,+\rangle, |+,-\rangle, |-,+\rangle, |-,-\rangle \)
- הסבירו מדוע התוצאה של 10 קונסיסטנטית עם התוצאה של סעיף 7.