(1322) המילטוניאן של מערכת 4 אתרים / שני קיוביטים

נתונה מערכת 4 אתרים המסודרים בצורת "ריבוע". ניתן לחשוב על המערכת כעל "טבעת". המיקום של חלקיק מוגדר על ידי אופרטור מיקום \( \hat{x} \) שיכול לקבל ערך שלם \( x \) (מודולו 4), אופרטור ההזזה \( \hat{D} \) מזיז את החלקיק צעד אחד נגד כיוון השעון. המצבים העצמיים שלו הם מצבי התנע.  אופרטור התנע מוגדר כמקובל  \( \hat{p} |k\rangle = k |k\rangle \). בהמשך השאלה נתון שהמערכת סימטרית תחת הזזות. אמפליטודת הקפיצה בין אתרים סמוכים היא \( c \), ואין שדה מגנטי.

  1. רשמו את אופרטור המיקום \( \hat{x} \), המוגדר על פי \( \hat{x} |x\rangle = x |x\rangle \).
  2. רשמו את אופרטור ההזה \( \hat{D} \) בבסיס הנקבע על ידי \( \hat{x} \).
  3. מצאו את הערכים והוקטורים העצמאים של אופרטור ההזה.
  4. רשמו את ההצגה של אופרטור ההזה על ידי אופרטור התנע \( \hat{p} \).
  5. רשמו את ההמילטוניאן של המערכת.
  6. הביעו את ההמילטוניאן בעזרת אופרטור ההזזה.
  7. רשמו ביטוי של ההמילטוניאן בעזרת אופרטור התנע ומצאו את האנרגיות העצמאיות.

קיימת פרשנות אופציונלית של המערכת. אפשר להגיד שמדובר במערכת של שני קיוביטים. מצבי הבסיס הם \( |q_1,q_2\rangle \)  באשר  \( q=0,1 \) הם המצבים של קיוביט. 

  1. הסבירו מדוע מדובר בהמילטוניאנים זהים מבחינה מתמטית.
  2. סמנו את המצבים העצמיים של כל קיוביט בסימון  \( | \pm \rangle \)
  3. רשמו את האנרגיות של המצבים העצמיים \( |+,+\rangle, |+,-\rangle, |-,+\rangle, |-,-\rangle \)
  4. הסבירו מדוע התוצאה של 10 קונסיסטנטית עם התוצאה של סעיף 7.