(1020) מטריצות פאולי

מטריצות פאולי, לרבות מטריצת היחידה, מוגדרות להיות:

\( \sigma_0=1=\left( \array{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \right) ,\, \sigma_1= \left( \array{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \right) ,\, \sigma_2= \left( \array{ 0 & -\imath \\ \imath & 0 } \right) ,\, \sigma_3= \left( \array{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \right) \)

מטריצות פאולי ומטריצת היחידה מהווים בסיס שלם למטריצות 2x2
בהנתן אופרטור \( A \) מגדירים את היצוג שלו באמצעות הפיתוח \( A=\sum_i a_i\sigma_i \)
בפרט אפשר להגדיר מטריצות שדומות למטריצות פאולי בצורה הבאה
\( \sigma_n = \vec{n} \cdot \vec{\sigma}, \,\,\, \vec{n}=\text{unit vector}, \,\,\, \vec{\sigma}=(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) \)
בהמשך השאלה נתיחס למטריצות הבאות:
\( H_1 = \left( \matrix{1 & 2 \cr 2 & 1} \right), \,\,\,\, H_2 = \left( \matrix{6 & 3 \cr 3 & -2} \right) \)
  1. רישמו את מטריצות פאולי בכתיב דיראק.
  2. ודאו שאתם מכירים את טבלת הכפל ואת הקומוטטורים של מטריצות פאולי.
  3. הוכיחו שמתקיים \(\sigma_n^2 = 1 \). מכאן שהערכים העצמיים של מטריצות אלו, שדומות למטריצות פאולי, הם \( \pm 1\)
  4. רישמו את המטריצות \(H_1, H_2 \) באמצעות מטריצות פאולי.
  5. חשבו את המכפלה \( H_1 H_2 \) ואת הקומוטטור \( [H_1,H_2] \) תוך הסתמכות על טבלת הכפל של מטריצות פאולי.
  6. מה הערכים העצמיים של המטריצות? נא לא לפתור משוואות ריבועיות כדי לענות על שאלה זו!
  7. הראו שאפשר לחשב את \( Tr(H_1 H_2) \) על ידי כפל סקלרי של וקטורי ההצגה \( a_i \) של המטריצות.