(1020) מטריצות פאולי
מטריצות פאולי, לרבות מטריצת היחידה, מוגדרות להיות:
\( \sigma_0=1=\left( \array{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \right) ,\, \sigma_1= \left( \array{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \right) ,\, \sigma_2= \left( \array{ 0 & -\imath \\ \imath & 0 } \right) ,\, \sigma_3= \left( \array{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \right) \)
מטריצות פאולי ומטריצת היחידה מהווים בסיס
שלם למטריצות 2x2
בהנתן אופרטור
\( A \)
מגדירים את היצוג שלו באמצעות הפיתוח
\( A=\sum_i a_i\sigma_i \)
בפרט אפשר להגדיר מטריצות שדומות למטריצות פאולי בצורה הבאה
\( \sigma_n = \vec{n} \cdot \vec{\sigma}, \,\,\, \vec{n}=\text{unit vector}, \,\,\, \vec{\sigma}=(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) \)
בהמשך השאלה נתיחס למטריצות הבאות:
\( H_1 = \left( \matrix{1 & 2 \cr 2 & 1} \right), \,\,\,\, H_2 = \left( \matrix{6 & 3 \cr 3 & -2} \right) \)
-
רישמו את מטריצות פאולי בכתיב דיראק.
-
ודאו שאתם מכירים את טבלת הכפל ואת הקומוטטורים של מטריצות פאולי.
-
הוכיחו שמתקיים
\(\sigma_n^2 = 1 \).
מכאן שהערכים העצמיים של מטריצות אלו, שדומות למטריצות פאולי, הם
\( \pm 1\)
-
רישמו את המטריצות
\(H_1, H_2 \)
באמצעות מטריצות פאולי.
-
חשבו את המכפלה
\( H_1 H_2 \)
ואת הקומוטטור
\( [H_1,H_2] \)
תוך הסתמכות על טבלת הכפל של מטריצות פאולי.
-
מה הערכים העצמיים של המטריצות? נא לא לפתור משוואות ריבועיות כדי לענות על שאלה זו!
-
הראו שאפשר לחשב את
\( Tr(H_1 H_2) \)
על ידי כפל סקלרי של וקטורי ההצגה
\( a_i \)
של המטריצות.