האם העולם קלאסי - אינשטיין פודולסקי רוזן ואי השיוויון של בל

יחס סיבתי לעומת קורלציה

הנסיון מראה שאחוז חולי האלצהיימר בקרב המעשנים הוא נמוך מאוד. האם עישון עוזר למנוע אלצהיימר? ברור שלא. התוצאה הניסיונית מראה רק שיש קורלציה. במקרה זה הקורלציה היא לא בגלל יחס סיבתי אלא בגלל שאנשים שמעשנים לא זוכים לאריכות ימים. חשוב מאוד להבחין בין יחס סיבתי במובן של אינטראקציה, לבין יחס סיבתי לכאורה במובן הסתברותי / סטטיסטי. להלן דוגמה מעניינת:

הפרדוקס של מונטי הול:

יש שלוש דלתות.
מעמידים מכונית מאחורי אחת מהם.
המנחה נותן לך לבחור דלת.
המנחה פותח את אחת הדלתות האחרות.
המנחה נותן לך הזדמנות לשנות את דעתך.
פותחים את שלושת הדלתות - האם זכית במכונית?

טענות:

בשלב מס.3 ההסתברות למצוא את המכונית באחת מן הדלתות היא שווה.
בשלב מס.5 ההסתברות למצוא את המכונית בדלת האחרת היא כפולה.

מסקנה: המדידה "השפיעה" על מצב המכונית.

הניסוי המחשבתי של EPR

אינשטיין פודולסקי ורוזן הציעו בשנת 1935 לבחון את הניסוי המחשבתי הבא:

חלקיק בעל ספין אפס מתפרק לשני חלקיקים בעלי ספין חצי
חלקיק אחד מגיע לכדור הארץ והספין שלו נמדד בכיוון Z
החלקיק השני מגיע לירח

המצב לפני המדידה: \(\displaystyle{ | \Psi\rangle \ = \ | \uparrow,\downarrow \rangle \ - \ | \downarrow,\uparrow\rangle }\)
המצב לאחר המדידה: \(\displaystyle{ | \Psi\rangle \ = \ | \downarrow,\uparrow \rangle }\) או \(\displaystyle{ | \Psi\rangle \ = \ | \uparrow,\downarrow \rangle }\)

לכאורה אפשר להגיד שמדידה על פני כדור הארץ גורמת לקריסת פונקצית הגל על הירח. אינשטיין קרא לזה spooky action at a distance. אם זה היה נכון זה היה עומד בסתירה לעקרונות תורת היחסות הפרטית: אינטראקציה לא יכולה לנוע מעבר למהירות האור. לכן ברור שמדובר כאן בקורלציה סטטסיטית, שקיימת גם אם העולם היה קלאסי ("חוק שימור התנע הזויתי"). בהקשר זה כדאי להזכיר את קיומה של no cloning theorem. אילו אנשי הירח היו מסוגלים לשכפל את האלקטרון שמגיע אליהם הם היו יכולים לדעת "מיידית" אם בוצעה מדידה בכדור הארץ.

EPR

האם יתכן שהעולם הוא קלאסי?

הגענו למסקנה שפונקצית הגל היא בעלת משמעות סטטטיסטית בלבד. הפרוש הזה של המושג "מצב קוונטי" קרוי אינטרפטצית קופנהגן. האם זה אומר שאי אפשר לנבא באופן דטרמיניסטי את התוצאה של מדידה? ידועה אימרתו של אינשטיין "אלוהים לא משחק בקוביות". הספקולציה של אינשטיין היתה שהמכניקה הקוונטית אינה נותנת תאור שלם של המציאות: אם היינו יודעים את כל מה שאפשר על האלקטרונים שמתקבלים בשעת ההתפרקות, אז אפשר היה לנבא דטרמינסטית את התוצאות של כל מדידה. זו קרויה ההיפותזה של hidden variables. לאחר מותו של אינשטיין, הראה בל בשנת 1964, שההיפותזה הזו מובילה לאי שיוויון מסוים על פונקציות קורלציה (ראה להלן).

לפי אי השיוויון של בל: \(\displaystyle{ \mathcal{C} < 2 }\)
לפי המכניקה הקוונטית: \(\displaystyle{ \mathcal{C} }\) יכול להיות גדול יותר

אי השוויון של בל מתבסס על ההנחות הבאות:

מדידה בכדור הארץ לא משפיעה על הירח
התוצאה של המדידה נקבעת באופן דטרמינסטי

המסקנה הנסיונית היא: העולם אינו קלאסי, או שיש צורך בתאורית קונספירציה...

אי השיוויון של בל

נניח שיש שתי זויות אפשריות שבהן אנשי כדור הארץ יכולים להציב את מכשיר המדידה שלהם (the "a" aparatus), ושתי זויות אחרות שבהן אנשי הירח יכולים להציב את מכשיר המדידה שלהם (the "b" aparatus). את תוצאות המדידה נסמן בסימונים \(\displaystyle{ a, a', b, b' }\) . התוצאה של מדידה היא תמיד 1+ או 1- בהתאם לכיוון הספין. בהנחה שבכל "הרצה" של הניסוי הערכים של ארבעת המשתנים מוגדרים, בלי קשר לכך שאנו מודדים אותם או לא מודדים אותם, הרי שמתקיים טריוויאלית

\(\displaystyle{ ab + ab' + a' b - a'b' = \pm 2 }\)

לצורך הוכחה יש לשים לב שניתן לרשום את הביטוי בצורה \(\displaystyle{ a(b + b') + a' (b - b') }\) . יש שתי אפשרוית: או שערכי \(\displaystyle{ b }\) ו - \(\displaystyle{ b' }\) שווים, או שהם מנוגדי סימן, בכל מקרה ערך התוצאה הוא \(\displaystyle{ \pm 2 }\) . אם נעשה ממוצע סטטיסטי על הערכים המתקבלים במספר רב של "הרצות" נקבל בהכרח תוצאה בתחום \(\displaystyle{ [-2,2] }\) ולכן

\(\displaystyle{ | \langle ab \rangle + \langle a b' \rangle + \langle a' b\rangle - \langle a'b'\rangle | \ \ < \ \ 2 }\)

כעת נבדוק אם אי השיוויון הזה מתקיים. לשם כך נזכר בגדרה של פונקצית קורלציה, ונרשום גם את התוצאה הקוונטית שמתיחסת למקרה של התפרקות חלקיק בעל ספין אפס לשני חלקיקים במצב סינגלט:

\(\displaystyle{ \langle ab\rangle \ \ = \ \ C(\theta_a-\theta_b) \ \ = \ \ -\cos(\theta_a-\theta_b) }\)

נגדיר את הגודל

\(\displaystyle{ \mathcal{C} \ \ \equiv \ \ \left| C(\theta_a - \theta_b) + C(\theta_a - \theta_{b'}) + C(\theta_{a'}-\theta_{b}) - C(\theta_{a'} - \theta_{b'}) \right| }\)

לפי אי השיוויון של בל צריך להתקיים

\(\displaystyle{ \mathcal{C} \ \ < \ \ 2 }\)

נבדוק מה מקבלים עבור \(\displaystyle{ \theta_a=0^o, \ \ \ \theta_b=45^o, \ \ \ \theta_{a'} = 90^o, \ \ \ \theta_{b'}=-45^o }\)

התוצאה היא

\(\displaystyle{ \mathcal{C} \ \ = \ \ \left| \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right| \ \ = \ \ 2\sqrt{2} }\)

התחזית הקוונטית נותנת תוצאה שעומדת בסתירה לאי השיוויון של בל. כיוון שהניסוי מאמת את הפרדיקציה הקוונטית, נובע מכך שהעולם שבו אנו חיים אינו קלאסי.

קישורים:

EPR paper
Bell paper