מצבים קוונטיים של חלקיק קשור
forum link
האנרגיה של חלקיק קשור שמצוי במצב "סטציונרי" מקוונטטת (אנלוגיה: גל עומד במיתר).
לכן החלקיק יכול לבלוע או לפלוט אנרגיה רק במנות בדידות (ספקטרוסקופיה).
להלן ובהמשך נציג את הדוגמאות הבאות:
-
חלקיק בקופסא ("בור פוטנציאל")
\(\displaystyle{ E_n = n^2, \ \ \ \ \ n=1,2,3,... }\)
-
אלקטרון קשור באטום ("אטום המימן")
\(\displaystyle{ E_n = -\frac{1}{n^2} \ \ \ \ n=1,2,3,... }\)
-
אטום קשור במולקולה ("חלקיק קשור לקפיץ")
\(\displaystyle{ E_n = \omega n \ \ \ \ n=0,1,2,3,... }\)
להלן נסביר כיצד מגיעים לתוצאות האלה, ומה המשמעות שלהם. בפרט נדגיש את התאימות של התוצאות לחישוב הקלאסי של תדירות התנועה.
חלקיק קלאסי בקופסא
נדון בחלקיק "בקופסא" שנע בתחום שמוגדר על ידי קירות בלתי חדירים. בעזרת מודל זה ניתן להדגים חלק מההבדלים הקיימים בין המכניקה הקלאסית למכניקה הקוונטית. הגרסא הפשוטה ביותר של בעית חלקיק בקופסא היא המקרה החד מימדי - החלקיק נע על קו ישר בין הקירות התוחמים אותו. את קירות הקופסה ניתן לתאר כאיזור במרחב שבו הפוטנציאל גדול מאוד, ואת פנים הקופסה כאיזור עם "פוטנציאל אפס" שבו לא פועלים כוחות כלל. בתוך הקופסה החלקיק יכול לנוע בצורה חופשית. תחילה נחשב את זמן המחזור של חלקיק בקופסה כפי שמחושב ע"י הפיזיקה הקלסית. אם הקופסא באורך L והחלקיק נע במהירות v אז זמן המחזור של תנודה הוא
\(\displaystyle{ \text{oscillation time} \ \ = \ \ \frac{2L}{v} }\)
ולכן תדירות התנודות היא
\(\displaystyle{ \omega \ \ = \ \ \frac{2\pi}{\text{oscillation time}} \ \ = \ \ \frac{\pi}{L}v }\)
הקוונטיזציה של האנרגיה
במכניקה קוונטית החלקיק מתואר באמצעות פונקצית גל. במקרה של חלקיק בקופסא יש אנלוגיה לבעיה של מיתר שרוטט בין שתי נקודות. במצב "סטציונרי" של "גל עומד" אורכי הגל הבאים בחשבון הם
\(\displaystyle{ \lambda_1 \ = \ 2L }\)
,
\(\displaystyle{ \lambda_2 \ = \ L }\)
,
\(\displaystyle{ \lambda_3 \ = \ \frac{2L}{3} }\)
,
\(\displaystyle{ \lambda_n \ = \ \frac {2L}{n} }\)
לכן הערכים האפשריים של התנע הם
\(\displaystyle{ p_n \ = \ \frac{2\pi} {\lambda_n} \ = \ \frac{\pi}{L} n }\)
זה אומר שהמהירות (בערכה המוחלט) היא
\(\displaystyle{ v_n \ = \ \frac{1}{m}p_n \ \propto \ n }\)
האנרגיה הקינטית של החלקיק במצב כזה היא
\(\displaystyle{ E_n \ = \ \frac{1}{2m}p_n^2 \ = \ \frac{1}{2m}\left(\frac{\pi}{L}n\right)^2 }\)
נשים לב שמצב של תנע אפס "בקופסא" אינו אפשרי כיוון שפונקצית הגל של מצב כזה לא מתאפסת בקצוות (ליד הקירות). מצב של תנע אפס כן אפשרי אם יש תנאי שפה מחזוריים (חלקיק על "טורוס").
החישוב הקוונטי של תדירות התנועה
נחשב את זמן התנודה של החלקיק מנקודת מבט קוונטית. לשם כך עלינו להגדיר את המושג "אנרגיה". כבר פגשנו את המושג הזה בהקשר של חלקיק חופשי. שם אמרנו שהאנרגיה היא ביטוי שממנו ניתן לגזור ביטוי עבור
המהירות
של החלקיק. זה למעשה מקרה פרטי של טענה כללית יותר:
תדירות
התנועה נקבעת על ידי הפרשי אנרגיות:
\(\displaystyle{ \omega \ = \ E_n-E_m }\)
במקרה שלפננו
\(\displaystyle{ \omega \ = \ E_{n+1} -E_{n} \ = \ \frac{{p_{n+1}}^2}{2m}- \frac{{p_n}^2}{2m} \ = \ \frac{1}{m} (p_{n+1}-p_{n}) \left( \frac{p_n+p_{n+1}}{2} \right) \ = \ \frac{\pi}{L}v }\)
זאת בהתאמה לציפיה הקלאסית. עם זאת נדגיש שבחישוב הקלאסי כל אנרגיה היא מותרת, ולכן כל תדירות היא אפשרית, בעוד שבחישוב הקוונטי רק אנרגיות מסוימות מותרות, ולכן רק תדירויות מסוימות הן אפשריות. נשים לב שלאנרגיות כשלעצמן אין חשיבות - רק להפרשי אנרגיות יש משמעות פיסיקלית.