מצבים קוונטיים של חלקיק במרחב

forum link

חלקיק במערכת שני אתרים

להיות באתר מספר אחד:                  \(\displaystyle{ \mid 1\rangle }\)
להיות באתר מספר שתיים:                \(\displaystyle{ \mid 2\rangle }\)
מצב כללי:            \(\displaystyle{ \mid \Psi\rangle = \alpha \mid 1\rangle + \beta\mid 2\rangle }\)

האם מצב כללי הוא פיסיקלי?

תשובה: כן. אבל בניגוד לספין 1/2 כאן הטבע לא דמוקרטי. במקרה של ספין 1/2 מצב סופרפוזיציה של up עם down הוא פשוט מצב של קיטוב בכיוון כלשהו, ואין הוא שונה במהותו מכל מצב קיטוב אחר. לעומת זאת "להיות בשני אתרים בו זמנית" זה מצב שונה מהותית מבחינת אפשרות המדידה. אפשר בקלות למדוד "איפה החלקיק", קשה הרבה יותר לקבוע אם יש "סופרפוזיציה" מסוימת.

חלקיק במערכת N אתרים

להיות באתר מספר חמש:  \(\displaystyle{ \mid \Psi\rangle = \mid 5\rangle }\)
להיות עם תנע אפס: \(\displaystyle{ \mid \Psi\rangle = \mid 1\rangle + \mid 2\rangle + \mid 3\rangle + ... + \mid N\rangle }\)
מצב כללי: \(\displaystyle{ \mid \Psi\rangle = \psi_1 \mid 1\rangle + \psi_2\mid 2\rangle + \psi_3\mid 3\rangle + ... }\)
                                        
אוסף המספרים  \(\displaystyle{ \psi(x) }\) באשר  \(\displaystyle{ x=1,2,3... }\)   נקרא "פונקצית גל"


wave
האם מצב כללי הוא פיסיקלי?

תשובה: כן. אבל לא לכולם יש "פרשנות קלאסית" פשוטה. למצבי "מקום" יש פרשנות קלאסית פשוטה. גם למצבי "תנע" יש פרשנות קלאסית כיוון שאפשר אז ליחס לחלקיק מהירות מוגדרת. גם סופרפוזיציות פשוטות כגון "חבילת גלים" אפשר לפרש באופן קלאסי. אבל מצבים שבהם החלקיק נמצא (לדוגמה) במקומות מופרדים מבחינה מרחבית בעת ובעונה אחת, כמו בניסוי שני סדקים, הם בלתי אפשריים לאינטרפטציה קלאסית. על כל פנים, כל עוד מתיחסים למדידה מסוג מסוים, במקרה שלפננו מדידית מקום, תמיד יש את הפרשנות הסטטיסטית הבאה:

\(\displaystyle{ \text{Probability}(x\mid \psi) \ \ = \ \ \mid \psi(x)\mid ^2 }\)

מצבים של חלקיק חופשי

חלקיק חופשי הוא חלקיק אשר תנועתו אינה מוגבל על ידי פוטנציאל. במערכת פתוחה אפשר להגדיר מצבי סופרפוזיציה שמרוחים על פני כל המרחב. מבחינה מתמטית נוח לחשוב על המרחב כעל רצף של תאים קטנים שבהם החלקיק יכול להימצא. בנוסף נוח להניח שהמרחב הוא בעל נפח סופי על ידי הגדרת "תנאי שפה מחזוריים" (בשפה המתמטית מרחב כזה נקראט "טורוס"). אוסף המצבים האפשריים של החלקיק הם כל מצבי המקום וכל הסופרפוזיציות שלהם. בפרט שימושי להגדיר את מצבי "התנע". מצב התנע הפשוט ביותר הוא מצב של תנע אפס:

\(\displaystyle{ \mid p{=}0\rangle \ \ = \ \ \mid 1\rangle +\mid 2\rangle +\mid 3\rangle +...+\mid x\rangle +... }\)

באופן כללי יותר התנע יכול להיות שונה מאפס:

\(\displaystyle{ \mid p\rangle \ \ = \ \ e^{ip} \mid 1\rangle +e^{i2p}\mid 2\rangle +e^{i3p}\mid 3\rangle +...+e^{ixp}\mid x\rangle +... }\)
 
החלקיק "מרוח" על פני כל המרחב: הוא מצוי בו זמנית בכל ה"תאים" במרחב.
בז'רגון המקובל אומרים שמצב החלקיק מתואר על ידי פונקצית הגל ורושמים את הסופרפוזיציה בצורה הבאה:

\(\displaystyle{ \mid p\rangle \ \ = \ \ \psi_{1}\mid 1\rangle +\psi_{2}\mid 2\rangle +\psi_{3}\mid 3\rangle +...+\psi_{x}\mid x\rangle +... \ \ = \ \ \sum_x \psi_x \mid x\rangle }\)

פונקצית הגל של חלקיק בעל תנע p היא

\(\displaystyle{ \Psi_x = e^{ipx} }\)

באשר \(\displaystyle{ x=1,2,3,... }\)

או בגבול הרצף נהוג לרשום זאת בצורה

\(\displaystyle{ \Psi(x) = e^{ipx} }\)

באשר \(\displaystyle{ x \in [-\infty, \infty] }\)

התנע של החלקיק מבטא את "אורך הגל"

\(\displaystyle{ p=2\pi /\lambda }\)

נורמליזציה ואי ודאות

פונקציית הגל צריכה להיות מנורמלת, על מנת שנוכל לתת לה אינטרפטציה הסתברותית.  בהתאם:

\(\displaystyle{ \psi _{x}=\frac{1}{\sqrt{N}}e^{ipx} }\)

המצב שבו החלקיק "מרוח" על פני כל המרחב הוא מלאכותי מבחינה מעשית. טיפוסית החלקיק יהיה מרוח באזור סופי במרחב שגודלו \(\displaystyle{ \Delta x }\) . החלקיק לא יהיה במצב של תנע מוגדר היטב, אלא בסופרפוזיציה של מצבי תנע. התנע אינו בעל ערך ודאי, אלא עם תחום פיזור \(\displaystyle{ \Delta p }\) . בהתאם מתקיים

\(\displaystyle{ \Delta p\Delta x \ > \ 1/2 }\)

אי שיוויון זה, שמבוסס על תכונות של התמרת פוריה, נקרא לעיתים "עקרון אי הודאות של הייזנברג". למעשה אי השיוויון של היזנברג הוא מקרה פרטי של עקרון כללי יותר. בניסוח יותר אבסטרקטי "עקרון אי הודאות" אומר שבלתי אפשרי ליצור מצב פיסיקלי שבו יש ודאות סטטיסטית לגבי כל מדידה אפשרית. זה נובע מהנחת היסוד העיקרית של המכניקה הקוונטית: סופרפוזיציה של מצבים פיסיקליים, גם היא מצב פיסיקלי . העקרון הכללי חל לגבי כל סוג של מערכת, גם לגבי מצבי קיטוב, וגם לגבי מצבים מרחביים.