חזרה על מכניקה קלאסית

את המצב של חלקיק מיצגים באמצעות נקודה \(\displaystyle{ (x,p) }\) במה שנקרא "מרחב המצבים" או בשם המקובל יותר "מרחב הפאזות".

משוואות התנועה מתארות כיצד "הנקודה" זזה במרחב הפאזות:

יחס הדיספרסיה:	\(\displaystyle{ \dot{x} \ \ = \ \ \frac{dK(p)}{dp} }\)
חוק שני של ניוטון:	\(\displaystyle{ \dot{p} \ \ = \ \ F }\)

באשר \(\displaystyle{ K(p) }\) היא פונקצית האנרגיה הקינטית שעליה למדנו בשעור הקודם.
את הכוח נהוג לרשום כנגזרת של פונקציה שנקראת "אנרגיה פוטנציאלית"

\(\displaystyle{ F = -\frac{V(x)}{dx} }\)

לכן את משוואות התנועה אפשר לרושם כדלהן:

יחס הדיספרסיה:	\(\displaystyle{ \dot{x} \ \ = \ \ \frac{dK(p)}{dp} }\)
חוק שני של ניוטון:	\(\displaystyle{ \dot{p} \ \ = \ \ -\frac{dV(x)}{dx} }\)

מגדירים את "האנרגיה הכוללת" של החלקיק באמצעות הביטוי

\(\displaystyle{ E \ \ = \ \ K(p) + V(x) }\)

אפשר להראות שהגודל הזה "נשמר", זה אומר נשאר קבוע. קביעה זו נכונה כל עוד התנועה מתוארת על ידי המשוואות לעיל, ז"א שאין הפרעות חיצוניות של הסביבה. במילים אחרות אנו מתיחסים כאן למערכת מבודדת שבה החלקיק נע תחת השפעה של פוטנציאל קבוע. יש מספר דוגמאות סטנדרטיות שכדאי להכיר:

חלקיק קשור לקפיץ (אוסצילטור הרמוני)
חלקיק בקופסא
מטוטלת
תנועה של כדור הארץ סביב השמש

במקרה של חלקיק קשור לקפיץ הכוח הוא

\(\displaystyle{ x = \text{displacement from equilibrium point} }\)

\(\displaystyle{ F = -\alpha x }\)

\(\displaystyle{ V(x) = \frac{1}{2}\alpha x^2 }\)

במקרה של מטוטלת הכוח הוא

\(\displaystyle{ x = \text{angle from the bottom equilibrium position} }\)

\(\displaystyle{ F = -\alpha \sin(x) }\)

\(\displaystyle{ V(x) = -\alpha \cos(x) }\)

נשים לב שעבור תנודות קטנות המטוטלת היא כמו אוסצילטור הרמוני. אבל עם האנרגיה של המטוטלת מספיק גדול אז היא מבצעת סיבובים שלמים או בכיוון מחוגי השעון או נגד כיוון מחוגי השעון. במילים אחרות: במקרה של מטוטלת יש במרחב הפאזה שלושה אזורים שבכל אחד מהם יש תנועה מסוג אחר. הציורים להלן ממחישים את הדינמיקה.

GravityPendulum

הפוטנציאל בתחום הזויתי \(\displaystyle{ -\pi < x < +\pi }\)

pedulumPotential

מרחב הפאזות הוא צילנדרי (ההמשכה המחזורית היא לצורך האילוסטרציה):

pendulum-portrait3

אילוסטרציות דינמיות של התנועה:
Pendulum

התלות של תדירות התנודה באנרגיה הכוללת מומחש בציור הבא:

pedulumFreq