(6210) אפקט שטרק באטום המימן 2011A

האלקטרון באטום המימן הוא חלקיק בעל מסה M ומטען e שרואה פוטנציאל  V(r)=-\alpha/r.  להלן נניח שההסתברות למצוא את החלקיק ברמת אנרגיה מעוררת 2<n היא זניחה כך שמרחב המצבים של החלקיק הוא בעל מימד 5, ונפרס על ידי שני אורביטלים כדוריים ושלושה אורביטלים פולריים כך שהבסיס להצגה הוא  |s1\rangle,  |s2\rangle,  |px\rangle,  |py\rangle,   |pz\rangle. אנו מזניחים את אינטראקצית ספין-מסילה כך שאפשר להתעלם מהספין.  את האטום שמים בשדה חשמלי אחיד \mathcal{E} בכיוון ציר Z, וכתוצאה מכך הוא מתקטב. מטרת השאלה היא חישוב הפולריזציה של האטום \tilde{P})(\mathcal{E})=e\langle z \rangle. את התשובות  יש לבטא באמצעות  (M,a,e,\mathcal{E},c_1,c_2)  באשר   a=1/(\alpha M)   הוא רדיוס האטום של בוהר, ובאשר c_1 =8\sqrt{2}/9, \ \ c_2=3\sqrt{3}. יש להתיחס להנחיות שבסוף השאלה ולהמנע מעבודה שחורה.
  1. רשום את ההמילטוניאן בצורה הסטנדרטית באמצעות המשתנים הדינמיים  H(p_r,L,r,\theta; \mathcal{E})
  2. רשום את שתי המטריצות שמיצגות את ההמילטוניאן הבלתי מופרע, ואת האינטראקציה עם השדה החשמלי.
  3. רשום את הביטוי לאנרגית מצב היסוד   E_{gr}(\mathcal{E}) בקרוב של תורת הפרעות סדר שני.
  4. רשום את הביטוי לאנרגית המצב המעורר הנמוך  E_{ex}(\mathcal{E})
  5. רשום את הביטוי עבור הפולריזציה של האטום אם הכינו אותו במצב היסוד
  6. רשום את הביטוי עבור הפולריזציה של האטום אם הכינו אותו ברמה המעוררת
את הפונקציות הרדיאליות של הלקטרון באטום המימן ניתן לרשום באופן  \frac{1}{a^{3/2}}R^{\ell\nu}\left(\frac{r}{a} \right),
באשר R^{01}=2e^{-x}, \ \ R^{02}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\frac{x}{2}\right)e^{-x/2}, \ \ R^{11}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-\frac{x}{2}\right)e^{-x/2}.

הנחיות: בסעיף 2 מופיעים שני אינטגרלים רדיאליים.  התוצאה של האינטגרל שכולל את  R^{01} כוללת מקדם מספרי c_1. התוצאה של האינטגרל שכולל את  R^{02} כוללת מקדם מספרי c_2.  יש לבטא את התשובות באמצעות מקדמים אלו (ללא הצבה מספרית). על מנת לקבל את מלוא הנקודות הביטוי צריך להיות נכון גם מבחינת המקדמים המספריים הנוספים שמופיעים בחישוב. את התשובות לסעיפים 5-6 אפשר לקבל בדרך פשוטה מאוד ללא צורך בחישובים מיגעים.