(3710) אלקטרון בגאומטריה של אפקט הול, באר כפולה 2013B

נתון דגם מלבני דו מימדי ארוך. במימד האורכי 0<x<L הנח תנאי שפה מחזוריים.
הדגם מצוי בשדה מגנטי אנכי \vec{B} = (0,0,B(y)) .
רוחב הדגם מאפשר איכלוס של 3 אלקטרונים חסרי ספין בכל רמת לנדאו.
בפועל הדגם מאכלס 2 אלקטרונים בעלי מסה m ומטען e .
במצב היסוד האלקטרונים מאכלסים את שני מצבי לנדאו
שמיוצגים על ידי פונקציות הגל  \Psi^{\pm}(x,y).

בסעיפים  1-3 הנח שדה הומוגני  B(y)=B_0 בכיוון ציר Z.
בסעיפים 4-6 הנח שהפכו את כיוון השדה המגנטי בחצי המישור התחתון  B(y<0)=-B_0

(1) רשום את ההמילטוניאן של אלקטרון בדגם זה.

(2) רשום את הפוטנציאלי האפקטיבי V^{\pm}(y) שמתקבל לאחר הפרדת משתנים.

(3) רשום את פונקציות הגל  \Psi^{\pm}(x,y) של שני האלקטרונים.

(4)  רשום וצייר סכמטית את הפוטנציאלי האפקטיבי V^{eff}(y) עבור השדה המגנטי החדש.
 
(5) רשום ביטויים מקורבים עבור פונקציות הגל החדשות.

(6) רשום על סמך WKB ביטוי עבור פיצול האנרגיה  \Delta=C\exp(-A)  של המצבים החדשים.
 

הדרכה:
יש להביע את התשובות באמצעות הנתונים.
על מנת לפשט ביטויים מותר ורצוי להשתמש בסימון \omega_B=eB_0/m .
כמו כן מותר ורצוי להשתמש בסימון   \varphi _0(r) =
      (m\omega_B/\pi)^{1/4}\exp(-\frac{1}{2}m\omega_B r^2)
בסעיף 6 יש לספק ביטויים מפורשים עבור A, C
בחישוב  A יש להזניח את האנרגיה הקינטית ביחס לגובה המחסום.