הפוטון כחלקיק

האפקט הפוטואלקטרי

forum link

בתאוריה הקלאסית אם פולס אלקטרומגנטי בעל אנרגיה E_{\gamma} תולש אלקטרון ממתכת, אז האנרגיה הקינטית של האלקטרון הנפלט תהיה

E_e \ \ = \ \ E_{\gamma}-W

באשר W היא פונקצית העבודה של המתכת, ז"א העבודה שיש לעשות כדי לתלוש ממנה את האלקטרון. לפי נוסחא זו סביר שאור עם עצמה חזקה יותר יגרום לשחרור של אלקטרונים עם אנרגיה קינטית גדולה יותר. בפועל מתברר שהאנרגיה הקינטית שאיתה משתחררים האלקטרונים תלויה בתדירות ולא בעצמה של הקרינה. זה אומר שהקרינה מגיעה כביכול "בקוונטות". את הגודל של כל "קוונטה" ניתן לקבוע באופן נסיוני:

E_{\gamma} \ \ = \ \ \hbar \omega

בשיטת היחידות שבה אנו עובדים יש לאנרגיה יחידות של תדירות, והמקדם המספרי שווה לאחד.

File:Photoelectric effect.svg

הקונפיגורציה המקובלת בניסוי מתוארת להלן

תמונה

התלות של הזרם במתח מומחשת בציור הבא (אני סבור שהציור שגוי - עבור אותה עוצמה, אם התדירות נמוכה יותר, אז יותר אלקטרונים יפלטו ליחידת זמן):

PhotoCurrentVolatge.jpg

על מנת לדעת מה האנרגיה הקינטית שאיתה משתחררים האלקטרונים מהקטודה מה שמודדים בניסוי זה את מתח העצירה. הנוסחא לחישוב מתח העצירה היא

eV_{\text{stopping}}\ \ = \ \ \hbar\omega-W'  

נאיבית מה שאמור להופיע בנוסחה היא פונקצית העבודה של הקטודה. זו טעות נפוצה שקיימת ברוב ספרי הלימוד, וברוב תדריכי המעבדה. למעשה מה שמופיע בנוסחא זו פונקצית העבודה של האנודה. עם זאת לא מן הנמנע שבמהלך פעולת השפורפרת אטומים מהקטודה משתחררים ומצפים את האנודה: אם זה קורה אז האנודה "תתחזה" לאנודה מבחינת פונקצית העבודה.

PhotoCurrentVolatge.png

לפרטים נוספים על נקודה מבלבלת זו ראה:
  1. PhotoElectric.pdf - a schematic drawing
  2. Concerning a widespread error in the description of the photoelectric effect, Rudnick J. and Tannhauser D. S., American Journal of Physics 44(8) 796 (1976)
  3. Photoelectric effect, a common fundamental error, iopscience, and further comment in iopscience
  4. Photoelectric effect, experimental confirmation concerning a widespread misconception in the theory, iopscience

פיזור תומפסון-ריילי

forum link

פיזור תומפסון-ריילי היא הפרדיקציה הקלאסית של פיזור גל אלקטרומגנטי ע"י אלקטרון, תוך התעלמות מהרתע של האלקטרון. זאת בניגוד לפיזור קומפטון שבו כן מתיחסים לרתע של האלקטרון, ואז מתברר שהקרינה האלקטרומגנטית מקוונטטת. באנליזה של פיזור תומפסון-ריילי מתיחסים לאלקטרון כאל חלקיק קשור לקפיץ. מממשוואת התנועה של "מתנד הרמוני מדורבן" נובע שהשדה גורם לאלקטרון להתנודד עם אמפליטודה 

\text{Amplitude}[x] \ \ \propto \ \
      \frac{\text{Amplitude}[\mathcal{E}]}{|\omega^2-\omega_0^2|}

האלקטרון המואץ פולט קרינה "דיפולית" שעוצמתה

I \ \ \propto \ \ \ddot{x}^2

מכאן מקבלים את נוסחת תומפסון-ריילי עבור חתך הפעולה לפיזור:

\sigma \ \ = \ \
      \frac{8\pi}{3}\left(\frac{e^2}{mc^2}\right)^2
      \left|\frac{\omega^2}{\omega^2-\omega_0^2}\right|^2

הביטוי בסוגריים נקרא הרדיוס הקלאסי של האלקטרון. זה קובע את חתך הפעולה של תומפסון בגבול  \omega_0\ll\omega שבו ניתן להתיחס אל האלקטרון המפזר כאל חלקיק חופשי (בלתי קשור).  אם לעומת זאת  \omega \ll\omega_0  מקבלים את נוסחת ריילי שאומרת שגל אלקטרומגנטי עם תדירות נמוכה יותר מתפזר פחות. זה מסביר מדוע השמיים כחולים והשמש כתומה: התדירויות האדומות מתפזרות פחות. האפקט חזק במיוחד בעת השקיעה: כמעט כל הכחול מתפזר ויש הרבה אדום במרכז.

לפרטים נוספים: http://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_scattering

 

פיזור קומפטון

forum link

נתיחס אל הפולס האלקטרומגנטי כאל "חבילת גלים" שיש לה תדירות \omega ואנרגיה כוללת E_{\gamma}. בשלב זה אנו מתיחסים לאור כאל קלאסי ומתעלמים מכך שהאנרגיה מגיעה בקוונטות. מיחס הדיספרסיה הרלטיביסטי נובע שהתנע הכולל של חבילת הגלים הוא 

P_{\gamma} \ \ = \ \ E_{\gamma}/c

החבילה היא כמו חלקיק עם מסה אפס. אם היא מתנגשת עם קיר נייח היא חוזרת עם אותה תדירות אבל עם תנע הפוך. לעומת זאת אם היא מוחזרת מקיר שנע במהירות v_e אז היא מוחזרת עם תדירות אחרת. זה נקרא אפקט דופלר. אותו דבר יקרה אם נפעיל צופר אחרי משאית נוסעת: הקול יוחזר מהמשאית עם תדירות נמוכה יותר. נוסחא מקורבת לשינוי בתדר היא:

\frac{\omega' - \omega}{\omega} \ \ \approx \ \
      -2\frac{v_e}{c}

כאן הפולס לא מוחזר מקיר בעל מסה אין סופית אלא מאלקטרון. נניח שהאלקטרון היה במנוחה, ושההתנגשות היא head on. כתוצאה מפגיעת הפולס האלקטרון יקבל תנע 2P_{\gamma}. זאת אומרת שהמהירות הממוצעת שלו במהלך ההתנגשות (כתוצאה מהרתע) היא:

v_e \ \ = \ \ \frac{1}{m_e}P_{\gamma}

אם נציב את זה בנוסחת אפקט דופלר נקבל

\frac{\omega' - \omega}{\omega} \ \ \approx \ \
      -2\frac{E_{\gamma}}{m_ec^2}

או במונחים של שינוי אורך גל:

\lambda' - \lambda \ \ \approx \ \
      4\pi\frac{E_{\gamma}/\omega}{m_ec}

כמו באפקט הפוטואלקטרי לכאורה פולס אנרגטי יותר יגרום לרתע גדול יותר ולכן לשינוי גדול יותר באורך הגל של הקרינה המוחזרת. אבל בפועל מתברר שאין זה נכון. כדי להסביר את תוצאות הניסוי עלינו להניח שהאנרגיה מגיעה בקוונטות, ואז מקבלים

\lambda' - \lambda \ \ \approx \ \ \frac{4\pi \hbar}{m_ec}
 
הניתוח הקינמטי המקובל של ההתנגשות מתיחס לפוטון לא כאל "גל" אלא כאל חלקיק בעל אנרגיה  E_{\gamma} = \hbar \omega, ולוקח בחשבון את הזוית שבה נרתע האלקטרון. מתוך שימוש בחוקי שימור של אנרגיה ותנע בהתנגשות, ראה wiki, מקבלים את נוסחת קומפטון

\lambda' - \lambda \ \ = \ \ \frac{2\pi
      \hbar}{m_ec}(1-\cos\theta)

התוצאה הזו קונסיסטנטית עם התוצאה שקיבלנו בהנחת התנגשות head on. נשים לב שבגין הדואליות את נוסחת דופלר אפשר לפרש בשתי דרכים שקולות: שינוי תדר של גל כתוצאה מהתנגשות עם קיר זז, או לחילופין, שינוי באנרגיה של חלקיק שמתנגש בקיר זז.

Compton


אורך גל קומפטון

מהתבוננות בנוסחת קומפטון אפשר לראות שהמסה של החלקיק מכניסה לבעיה סקלת אורך שנקראת אורך גל קומפטון:

\lambda_c \ \ \equiv \ \ \frac{2\pi \hbar}{mc}

את המשמעות הפיסיקאלית של אורך גל זה אפשר להסביר בצורה הבאה. נניח שאנו כולאים חלקיק בקופסא. אם גודל הקופסא L קטן מספיק, האנרגיה הקינטית המינמלית של החלקיק תהיה מסדר גודל של אנרגית המנוחה שלו. זה מוביל למשוואה

\frac{(\hbar/L)^2}{m} \ \ \sim \ \ mc^2

הפתרון של המשוואה הזו מוביל להגדרה של אורך גל קומפטון.