מצבים קוונטיים של אוסצילטור הרמוני

forum link

מצבים קוונטיים של אוסצילטור הרמוני

אוסצילטור (מתנד) הרמוני הוא מודל פיסיקלי המתאר תנודה של חלקיק קשור (אובייקט הקשור לקפיץ, מטוטלת וכו'). המחשה טובה למתנד הרמוני ניתן למצוא בקישור הבא: youtube. מודל זה הוא חשוב מאוד בפיסיקה מאחר וניתן לייצג (בקרוב) מערכות רבות כאוסף של אוסצילטורים. כל "מוד" של תנודה מאופין על ידי תדירות מסוימת ω.
פורמאלית נתייחס לאוסצילטור כאל חלקיק בפוטנציאל פראבולי:

V(x) \  \ \propto  \ \ \frac{1}{2} x^2

קלאסית תדירות התנודה של אוסצילטור הרמוני אינה תלויה באנרגיה או באמפליטודה של התנועה. קוונטית היא אמורה להקבע על ידי הנוסחא
 
\omega = E_n - E_m

בהנחה שהפתרון הקוונטי תואם את הפתרון הקלאסי אנו מסיקים

E_n=\omega n + \text{const}
 
כלומר, האנרגיות המקוונטטות באוסצילטור הרמוני הן בעלות מרוחים שוים.
אם רמת היחוס של האנרגיה היא קרקעית הפוטנציאל אז הנוסחא המתקבלת היא למעשה

E_n \  \  =  \  \   \left(\frac{1}{2}+n\right) \hbar \omega

n=0,1,2,3,...

זאת בניגוד לחלקיק בקופסא, שם האנרגיה נתונה על ידי הביטוי:

E_n \ \ = \ \ \frac{1}{2M}(\frac{\hbar\pi}{L}n)^2 \ \ = \ \ Cn^2

n=1,2,3,...

קוונטיזציה של שדות

כאמור, מודל האוסצילטור ההרמוני מאפשר לנו לייצג תופעות פיסיקליות שונות. בפרט הוא מתאר את אופני התנודה (מודים) של השדה האלקטרומגנטי. אם יש לנו עירור של מוד לרמה n אנו אומרים שיש לנו כביכול n פוטונים שמאכלסים את אותו מוד. באופן דומה מתיחסים לאופני התנודה של האטומים בגביש: אם יש לנו עירור של מוד לרמה n אנו אומרים שיש לנו כביכול n פונונים שמאכלסים את אותו מוד. נוח להתיחס לעירורים האלה כאל חלקיקים. במילים אחרות "רמת עירור" = "רמת איכלוס"

E_n \  \  =  \  \   \left(\frac{1}{2}+n\right) \hbar \omega    \ \  = \  \ E_{\text{vacuum}}  \ + \  n  E_{\gamma}

באשר אנרגית הואקום היא

E_{\text{vacuum}} \ \ = \ \  \frac{1}{2}\hbar \omega

והאנרגיה של כל קוונטה היא

E_{\gamma} \ \ = \ \  \hbar \omega


קיבול חום של מוצקים

העדות הנסיונית הפשוטה ביותר לקוונטיזצית האנרגיה של מתנד היא מדידית קיבול חום של מוצקים. לפי המכניקה הקלאסית האנרגיה התרמית של מתנד אמורה להיות

E_{oscillator} \ \ = \ \  k_B T

באשר T היא הטמפרטורה, והמקדם בנוסחא נקרא קבוע בולצמן. אם יש לנו גביש שמורכב מ-N אטומים,  שכל אחד מהם יכול לנוע בשלושה כיוונים מרחביים, אז מספר אופני התנודה של הגביש יהיה 3N, ולכן אנרגיה התרמית תהיה  E= 3N \, k_B T, וקיבול החום של הגביש יהיה

C \ \ \equiv \ \ \frac{dE}{dT} \ \ = \ \ 3N \, k_B

זה נקרא חוק דיולונג-פטיט.  נסיונית מתברר שחוק שזה לא מתקיים בטמפרטורות נמוכות. קיבול החום מתחת לטמפרטורה מסוימת מתחיל לרדת. ההסבהר הקוונטי לתופעה הוא כדלהלן. בגלל הקוונטיזציה האנרגיה של מתנד יכולה לקבל רק ערכים דיסקרטיים:

E_{oscillator} \ \ = \ \  \hbar \omega \ \times \ \text{integer}

כאן השתמשנו ביחידות SI ולכן כללנו באופן מפורש את קבוע פלאנק. אם הטמפרטורה נמוכה אז כל המתנדים שהתדירות שלהם מקיימת \hbar \omega > k_BT יהיו במצב היסוד: הסביבה התרמית לא תוכל לעורר אותם. המתנדים היחידים שממשתתפים במשחק ותורמים לקיבול החום, הם אלו שמקיימים \hbar \omega < k_BT. הנוסחא הקוונטית שמתארת את התלות של קיבול החום בטמפרטורה פותחה על ידי דבאי.

קרינת גוף שחור

forum link

למעשה ההופעה הראשונה של הקבוע של פלאנק היתה בהקשר של "קרינת גוף שחור". הכוונה לקרינה שנפלטת מגוף אידיאלי שמצוי בשיווי משקל תרמי. הדרך לחשוב על גוף כזה או "לייצר אותו" זה כדלהלן: לוקחים תנור שמוחזק בטמפרטורה קבועה, קודחים חור בדופן של התנור, ומודדים את הקרינה שנפלטת מהחור. בתווך שממנו נפלטת הקרינה יש את המודים של השדה האלקטרומגנטי. לפי הפיסיקה הקלאסית כל מוד כזה פולט קרינה שפרופורציונלית לטמפרטורה. בפועל מה שרואים זה שהמודים בעלי התדר הגבוה כמעט שלא פולטים קרינה. את זה אפשר להסביר על ידי ההנחה שהאנרגיה של התווך מקוונטטת. אם הטמפרטורה נמוכה מהאנרגיה שדרושה לעורר מוד אז כמעט שלא תפלט קרינה. לפרטים נוספים ראה hyperphysics

fig