דינמיקה קוונטית: הסחת אלומה על ידי שדה מגנטי - כוח לורנץ ואפקט אהרונוב בוהם

forum link 

אלומה שעוברת דרך איזור מרחבי מסוים יכולה לשנות את כיוון תנועתה. יש 3 מסגרות תאורתיות שונות שיכולות להסביר הסחה של אלומה:
מה הדרך "הנכונה" להסביר את ההסחה של אלומת אלקטרונים? מנקודת מבט של המכניקה הקוונטית האפקט צריך להיות מובן כנובע מהתאבכות, כמו בתורה של הויגנס. אכן, אנו נראה שלנקודת המבט של המכניקה הקוונטית יש מסקנה לא טריוויאלית, שעומדת בסתירה לפרדיקציה הקלאסית: אפקט אהרונוב בוהם.

נוסחת ההסחה הניוטונית

אם נתבונן באלומת חלקיקים טעונים בעוברם בשדה אלקטרומגנטי. הכח הפועל עליהם הוא כח לורנץ:

F \ \ = \ \ q\mathcal{E} \ - \ q\mathcal{B} \times v

F=force, q=charge, E=electricfield, B=magneticfield, v=velocity

נגדיר את המתקף באמצעות הנוסחא

\Delta p \ \ = \ \ F \Delta t \ \ = \ \ \text{Newtonian Impulse}

ההסחה בכיוון של האלומה תהיה

\theta \ \ = \ \ \frac{\Delta p}{p}  \ \ = \ \ \text{Deflection angle}

נוסחת ההסחה של הויגנס

לשם פשטות נתיחס לניסוי שני סדקים. נגדיר את המתקף באמצעות הנוסחא

\Delta k \ \ = \ \ \frac{\Delta \phi }{d} \ \ = \ \ \text{Optical Impulse}

להלן נוכיח שההסחה בכיוון של האלומה תהיה

\theta \ \ = \ \ \frac{\Delta k}{k}  \ \ = \ \ \text{Deflection angle}

ההסבר לנוסחא הוא כדלהלן. אנו מניחים שבאיזור הפיזור (בקרבת שני הסדקים) יש "משהו" שגורם להפרש פאזה \Delta  \varphi בין הקרניים ("עדשה"). אם הולכים עם האלומה לעבר המסך יש להוסיף את התרומה של הפרש הדרך האופטית:

\phi_2-\phi_1 \ \ = \ \ \Delta \phi \ - \ k \cdot d \cdot \theta

העוצמה בנקודת ההתאבכות היא

\text{Intensity} \ \ = \ \ \left| e^{i\phi_1} + e^{i\phi_2} \right|^2 \ \ \propto \ \ \left( 1 + \cos(\phi_2-\phi_1) \right)

מרכז תמונת ההתאבכות הוא בזוית שבה הפרש הפאזה הוא אפס. מכאן:

\theta \ \ = \ \ \frac{\Delta \phi}{k \cdot d} \ \ = \ \ \frac{k_y}{k}

זה מוביל לנוסחת ההסחה של הויגנס. נא לשים לב שאנו מניחים שהאלומה מתקדמת בכיוון ציר x. הפרש פאזה בין שני הסדקים משמעו תנע בכיוון ציר Y.

נוסחת ההסחה הקוונטית

על מנת להסביר את נוסחת ההסחה הקלאסית באופן קוונטי עלינו להניח שהשדות החשמלי ווהמגנטי יוצרים הפרש פאזה שיוצר את אותו מתקף כמו מה שמשתמע מנוסחת כוח לורנץ. זה אומר

\Delta \phi \ \ = \ \ F  \Delta t \cdot d  \ \ = \ \ q\mathcal{E}d \cdot \Delta t  \ + \  q\mathcal{B}d \cdot \Delta x

באשר

\Delta x \ = \ v\Delta t \ = \  \text{displacement}

אנו רואים שהאפקט של השדה החשמלי הוא

\Delta \phi \ \ = \ \ \frac{V_2-V_1}{\hbar} \Delta t

ושהאפקט של השדה המגנטי הוא: 

\Delta \phi \ \ = \ \ \frac{q}{\hbar c} \ \times \ \text{MageneticFlux}

בנוסחאות למעלה כללנו את הקבועים שנחוצים בשיטת היחידות CGS. אנו רואים  שהפרש הפאזה תלויה בשטף המגנטי, ולא בשדה המגנטי עצמו. מסקנה המתבקשת מתוצאה זו היא שאפשר להסיח אלומה של אלקטרונים באמצעות שטף מגנטי, גם אם באיזור שבו נעים האלקטרונים אין בכלל שדה מגנטי. הדרך הפשוטה ביותר ליצור קונפיגורציה כזאת היא ליצור שדה מגנטי בתוך סולונואיד, וליצור פוטנציאל חשמלי גבוה מאוד באיזור של הסולונואיד כך שהאלקטרונים לא יכולים לראות את השדה שבתוכו. אם מעבירים אלומה באיזור שבו יש את הסולונאיד, היא נאלצת להתפצל, וההתאבכות תגרום להסחת האלומה. זאת למרות שלפי נוסחת כוח לורנץ לא אמור לפעול על החלקיקים כוח. זה נקרא אפקט אהרונוב בוהם.