אבחנה בין פרמיונים ובוזונים

forum link

ראינו שלקוונטות של השדה האלקטרומגנטי ניתן להתיחס כאל חלקיקים, "פוטונים", המאכלסים את המודים של השדה. מספר הפוטונים שיכולים לשבת באותו "מוד" הוא בלתי מוגבל. חלקיקים מסוג כזה אנו אומרים שהם "בוזונים". בניגוד לכך על מנת להבין את מבנה האטומים עלינו להניח שהאלקטרונים הם "פרמיונים", ז"א ששני חלקיקים לא יכולים לשבת באותו "מצב". מגבלת איכלוס זו נקראת "האיסור של פאולי".

משפט הספין והסטטיסטיקה

כאשר דיראק ניסה לתאר את יחס הדיספרסיה של אלקטרון במסגרת המכניקה הקוונטית, התברר שיש לכך השלכות לא טריוויאליות:  יש להניח שלאלקטרון יש ספין 1/2, ויש להניח שיש גם אנטי-חלקיק (שאחר כך קראו לו פוזיטרון). בנוסף חייבים להניח שהאלקטרון הוא פרמיון. בהמשך נוסח משפט "הספין והסטטיסטיקה": חלקיקים עם ספין חצי שלם חייבים להיות פרמיונים, בעוד שחלקיקים עם ספין שלם חייבים להיות בוזונים.

מבנה האטום

עיקרון האיסור של פאולי עוזר להבין את מבנה קליפות האלקטרונים באטום. אורביטלים הם המצבים המרחביים האפשריים של אלקטרון בודד מסביב לגרעין. בשלב זה אנו מתעלמים מהספין. דרושים שני "מספרים קוונטיים" כדי לתייג את האורביטלים: מספר קוונטי ראשי n שמופיע במודל בוהר, ותנע זויתי \ell=0,1,2,3,.... עבור המספר הקוונטי השני נהוג להשמש בסימון \ell=s,p,d,f,... שמרמז על הצורה המרחבית של האורביטל. כיוון שלאלקטרון יש ספין 1/2, כל אורביטל יכול לאכלס עד שני אלקטרונים (ראה הסבר מורחב בהמשך). דוגמאות לקונפיגורציות אלקטרוניות:

H: \ 1s^1

He: \ 1s^2

_6C: \ 1s^2 \ 2s^2 \ 2p^2

_8O: \ 1s^2 \ 2s^2 \ 2p^4

_{10}Ne: \ 1s^2 \ 2s^2 \ 2p^6

סינגלט

שני אלקטרונים יכולים לאכלס את אותו אורביטל כיוון שאחד יכול להתישב עם ספין up והשני עם ספין down. זה ניסוח מקובל בספרי לימוד אלמנטריים. מבחינה מתמטית הרעיון דורש הבהרה יותר רצינית. לכאורה משתמע שהמצב הקוונטי של שני האלקטרונים הוא

\mid\psi\rangle \ \ = \ \ \mid \uparrow \downarrow\rangle

במצב זה האלקטרונים לכאורה מקיימים את "האיסור של פאולי, וכמו כן לכאורה הספין הכולל הוא אפס. למעשה שתי הטענות אינן נכונות. בהרצאה הבאה נראה שאם היה מצב כזה, והיו מודדים את שני הספינים בכיוון ציר X, אז היתה הסתברות סופית למצוא אותם באותו כיוון. כך שלמעשה המצב שהוגדר לעיל אינו מקיים את האיסור של פאולי, והספין הכולל שהוא מייצג אינו אפס. לכאורה אפשר גם לחשוב על צרופים היפותתיים אחרים כגון \mid \downarrow \uparrow\rangle, \ \ \mid \uparrow
      \rightarrow\rangle, \ \ \mid \rightarrow\leftarrow\rangle ולכולם יש את אותה "בעיה". יש כאן גם עניין "אסתטי": האלקטרונים הם חלקיקים זהים, בעוד שלמצבים האלה אין סימטריה מוגדרת. בהרצאה הבאה נראה שיש למעשה רק "מצב איכלוס" אחד שהוא בא בחשבון:

\mid singlet\rangle \ \ = \ \ \frac{1}{\sqrt{2}}(\mid
      \uparrow \downarrow\rangle -\mid \downarrow \uparrow\rangle )

מצב זה נקרא "סינגלט". במצב כזה הספין הכולל של שני האלקטרונים הוא אפס בכל כיוון מדידה. מכאן גם שהמצב הזה מקיים את האיסור של פאולי: לא ניתן למצוא את האלקטרונים עם ספינים באותו כיוון. יש להדגיש שמצב הסינגלט הוא אחד ויחיד: בכל שאר המצבים אפשר למצוא את האלקטרונים עם ספין כולל שונה מאפס. בנוסף, למצב הזה יש סימטריה מוגדרת: הוא אנטי-סימטרי ביחס להחלפת החלקיקים. בפורמאליזם המסורתי של המכניקה הקוונטית דורשים שפונקצית הגל של הפרמיונים תהיה "אנטי סימטרית": זה למעשה הניסוח המתמטי של "עקרון האיסור של פאולי".

תאור מתמטי של מצב הסינגלט

forum link

נתונה מערכת של שני חלקיקים שלכל אחד יש ספין 1/2. נרצה למצוא מצב שבו הספין הכולל של המערכת הוא S=0 באופן ודאי (בהסתברות 100%). להלן נוח להשתמש בסימון  \mid z \rangle, \ \mid \bar{z}\rangle במקום הסימון   \mid \uparrow \rangle, \ \mid \downarrow \rangle .  נתבונן תחילה במצב |z\bar{z}\rangle.  מצב זה אינו מאופין בתנע זויתי כולל אפס. כדי להיווכח בכך נניח שאנו מודדים את הקיטוב בכיוון אופקי. נרשום את המצב בבסיס שמתאים למדידה כזו ונקבל:

|z\bar{z}\rangle \ \ = \ \ \frac{1}{2} \left( |xx\rangle -
      |x\bar{x}\rangle + |\bar{x}x\rangle - |\bar{x}\bar{x}\rangle
      \right)

אנו רואים ש הסתברות של 25% למדוד ספין כולל 1 והסתברות 25% למדוד ספין 1-. במילים אחרות, במדידה אופקית יש הסתברות של 50% למצוא את שני הספינים באותו כיוון. למעשה יש רק מצב אחד של המערכת שבו מתקבל ספין כולל אפס בכל מדידה אפשרית: 

|S_0 \rangle \ \ = \ \ \mid singlet\rangle \ \ = \ \
      \frac{1}{\sqrt{2}}(\mid \uparrow \downarrow\rangle -\mid
      \downarrow \uparrow\rangle )

לדוגמה, נשים לב שמתקיים

|S_0 \rangle \ \ = \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
      |z\bar{z}\rangle-|\bar{z}z\rangle \right) \ \ = \ \
      \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |x\bar{x}\rangle-|\bar{x}x\rangle
      \right)

כך שגם במדידה בכיוון אופקי מתקבל ספין כולל אפס בהסתברות של 100%. באמצעות ההצבות

\mid \theta\rangle =\cos \frac {\theta}{2}\mid z\rangle +
      \sin \frac{\theta}{2}\mid \bar{z}\rangle

\mid \bar{\theta}\rangle =\sin \frac {\theta}{2}\mid z\rangle
      - \cos \frac{\theta}{2}\mid \bar{z}\rangle

נוודא שבאופן כללי מתקיים
 
|S_0 \rangle \ \ = \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
      |\theta\bar{\theta}\rangle-|\bar{\theta}\theta\rangle \right) \ \
      = \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |z\bar{z}\rangle-|\bar{z}z\rangle
      \right)


חישוב פונקצית קורלציה

singlet
נתייחס לשני חלקיקים שהספינים שלהם במצב סינגלט. מצב כזה יכול למשל להתקבל בהתפרקות של חלקיק בעל ספין אפס לשני חלקיקים בעלי ספין חצי. בגלל חוק שימור התנע הזויתי הספין הכולל לאחר ההתפרקות יהיה עדיין אפס - כך שהמצב חייב להיות מצב סינגלט. במצב כזה יש קורלציה בין החלקיקים. אם מודדים את הקיטוב האופקי אז אם אחד מהספינים הוא up אז השני חייב להיות down. נתיחס עתה למקרה כללי יותר. נניח שאנו מודדים את הקיטוב של הספין הראשון בכיוון אנכי, ואת הקיטוב של הספין השני בכיוון \theta. נסמן את תוצאות המדידה בצורה הבאה:

a=\pm 1
b=\pm 1

נרשום את מצב הסינגלט בבסיס שמתאים למדידה כזו ונקבל:  

|S_0 \rangle \ \ = \ \
      \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left( |z
      \bar{\theta}\rangle - |\bar{z}\theta\rangle \right)
      +\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \left( |z
      \theta\rangle + |\bar{z}\bar{\theta}\rangle \right)

נאפיין את הקורלציה בין שתי התוצאות באמצעות המכפלה
 
c \ \ = \ \ ab

מהסתכלות אנו רואים שמתקיים

\text{Probability}(c=1) \ \ = \ \ \left|
      \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right|^2
\text{Probability}(c=-1) \ \ = \ \ \left|
      \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \right|^2

מכאן אנו מקבלים את הקורלציה

C(\theta) \ \ = \ \ \langle c \rangle \ \ = \ \ \langle ab
      \rangle \ \ = \ \ -\cos(\theta)

נבדוק את התוצאה שקיבלנו עבור זוויות מעניינות:

עבור \theta=0 נקבל כי \langle ab\rangle =-1. משמעות הדבר היא שאם a=1 אז בוודאות b=-1.

עבור \theta=\pi נקבל כי \langle ab\rangle =1. משמעות הדבר היא שאם a=1 אז בוודאות b=1.

עבור \theta=\pi/2 נקבל כי \langle ab\rangle =0. משמעות הדבר היא שאם a=1 אז יש סיכוי שווה לקבל b=1 או b=-1.