Effective mass and conductivity

exercise 3_4922

זאת נתונה מערכת חד מימדית של N אתרים, במרחק a אחד מהשני, על טבעת. נגדיר אופרטור הזזה: \( \hat{D} \left| i \right> = \left| i-1 \right> \; , \; \hat{D} \left| 1 \right> = \left| N \right> \) . ההמילטוניאן של המערכת הוא
\( \hat{H} = \epsilon \hat{I} + t \hat{D} + t \hat{D}^\dagger \)
כאשר I זו מטריצת היחידה, \( \epsilon \; , \; t \) הם גדלי ממשיים עם יחידות של אנרגיה.
  1. מהם המצבים והערכים העצמיים של אופרטור \( \hat{D} \) ? הדרכה: יש לבטא מצב כללי כקומבינציה ליניארית של מצבי בסיס המקום ולבדוק מתי המצב מהווה מצב עצמי של האופרטור.
  2. מהם מצבי וערכי האנרגיה במערכת? רמז: החישוב קצר.
  3. האם משפט בלוך מתקיים? (אם כן, מהם תנעי הסריג המותרים?). ציירו את הפס בתוך אזור ברילוואן הראשון (אנרגיה כפונקציה של תנע סריג). כמה מצבים שונים (כולל ספין) ישנם בתוך הפס?
  4. מהי המסה האפקטיבית עבור כל מצב תנע סריג (k)?
  5. מכניסים לתוך הפס: מספר אלקטרונים, הקטן ב2 מהמספר המקסימלי בפס. מהי המוליכות? נתון \( \tau \) (זמן בין התנגשויות בסריג) וניתן להניח "נפח" V . רמז: זה דומה לחצי מוליך מסוג P-type