אטום המימן ועקרון אי הוודאות

exercise 3_4346
נתונה פונקציית הגל של אלקטרון במצב היסוד של אטום המימן:
\( \psi\left(r\right)=\frac{1}{\pi^{1/2}a_{0}^{3/2}}e^{-r/a_{0}} \)
הראה כי עבור פונקציית גל זו מתקיים עקרון אי הוודאות, בין אי הודאות במקום ובתנע ע“פ השלבים הבאים :
א. נמק ע“י שימוש בסימטריה של הבעיה מדוע ערכי התצפית של מיקום האלקטרון בצירים השונים מתאפסים, \( \left\langle x\right\rangle =\left\langle y\right\rangle =\left\langle z\right\rangle =0 \) וכן ערכי התצפית של התנע בכיוונים השונים מתאפסים \( \left\langle p_{x}\right\rangle =\left\langle p_{y}\right\rangle =\left\langle p_{z}\right\rangle =0. \)
ב. חשב את ממוצע המרחק בריבוע \( \left\langle r^{2}\right\rangle \) .
ג. השתמש בהגדרת אופרטור התנע בריבוע בהצגת המקום ( שאנחנו מכירים ממשוואת שרדינגר ) \( \hat{p}^{2}=-\hbar^{2}\nabla^{2} \) לחישוב ממוצע ריבוע התנע של האלקטרון \( \left\langle p^{2}\right\rangle \)
רמז : השתמש ב \( \nabla^{2} \) בקואורדינאטות כדוריות ( ניתן למצוא בויקיפדיה ) .
ד. נמק מדוע \( \left\langle x^{2}\right\rangle =\left\langle y^{2}\right\rangle =\left\langle z^{2}\right\rangle =\frac{1}{3}\left\langle r^{2}\right\rangle \) ו \( \left\langle p_{x}^{2}\right\rangle =\left\langle p_{y}^{2}\right\rangle =\left\langle p_{z}^{2}\right\rangle =\frac{1}{3}\left\langle p^{2}\right\rangle \)
ה. על פי הסעיפים הקודמים חשב את \( \Delta x,\Delta y,\Delta z \) ו \( \Delta p_{x},\Delta p_{y}\Delta p_{z} \) והראה כי \( \Delta x\Delta p_{x}=\Delta y\Delta p_{y}=\Delta z\Delta p_{z}\geq\frac{\hbar}{2} \) .