Schrodinger equation

exercise 3_4343
נתונה משוואת שרדינגר עבור פונקציית הגל של חלקיק בעל מסה \( m \) הנע בפוטנציאל \( V\left(x\right) \) בחד מימד :
\( i\hbar\frac{\partial\psi\left(x,t\right)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi\left(x,t\right)}{\partial x^{2}}+V\left(x\right)\psi\left(x,t\right) \)
א. הראה כי עבור פוטנציאל שאינו תלוי במיקום \( V\left(x\right)=V_{0} \) ( כאשר \( V_0 \) קבוע ) הפונקצייה \( \psi\left(x,t\right)=Ae^{-i\left(\omega t-Kx\right)} \) היא פתרון למשוואה. מהו יחס הדיספרסיה המתקבל ואיך הוא קשור לאנרגיה של החלקיק ?
ב. עבור פוטנציאל כללי \( V\left(x\right) \) הראה כי אם \( \psi_{1}\left(x,t\right) \) ו \( \psi_{2}\left(x,t\right) \) פותרים את המשוואה אז גם \( \psi_{3}\left(x,t\right)=\psi_{1}\left(x,t\right)+\psi_{2}\left(x,t\right) \) הינו פתרון למשוואה (נקרא עקרון הסופרפוזיציה) .
ג. נניח כי פונקציית הגל היא \( \psi\left(x,t\right)=e^{-i\omega t}\tilde{\psi}\left(x\right) \) ( כאשר \( \tilde{\psi}\left(x\right) \) הינו פונקציה של \( x \) בלבד ) . הראה ע“י הצבת הפתרון במשוואת שרדינגר כי המשוואה ש \( \tilde{\psi}\left(x\right) \) מקיים היא משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן :
\( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\tilde{\psi}\left(x\right)}{\partial x^{2}}+V\left(x\right)\tilde{\psi}\left(x\right)=E\tilde{\psi}\left(x\right) \)
ד. נתון כעת פוטנציאל \( V\left(x\right)=\left\{\matrix{0,&x<0\\ V_0,& x\geq0}\right. \) . הראה כי אם \( \tilde{\psi}\left(x\right) \) פונקצייה רציפה ב \( x=0 \) אז גם הנגזרת שלה לפי \( x \) רציפה ב \( x=0 \) . ( רמז: בצע אינטגרציה לשני האגפים של משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן בתחום \( \left[-\epsilon,\epsilon\right] \) וקח את הגבול \( \epsilon\rightarrow0 \) ) .