אטום המימן

exercise 3_4330

פונקציית גל של אלקטרון באטום המימן במצב היסוד היא
\( \Psi(r)= \frac{1}{\pi^{1/2}a_0^{3/2}}e^{-r/a_0} \)
כאשר \( a_0 \) הוא הרדיוס של בוהר.
1) בדוק את נרמול הפונקציה (שים לב שאלמנט הנפח הוא \( d^3r =4\pi r^2 dr \) כאשר \( 4\pi \) נובע מאינטגרל על זוויות).
2) מה הסיכוי של האלקטרון להיות במרחק r הגדול מרדיוס בוהר?
3) מה הסיכוי של האלקטרון להיות בתוך הגרעין, כאשר רדיוס הגרעין \(r_0= 6.686\cdot 10^{-15} m \) ? (ניתן לפתח \( e^{-2r/a_0}\approx 1-\frac{2r}{a_0} \) ) בנוסף ידוע כי \(\frac{r_0}{a_0} \approx 0.126\ \cdot \ 10^{-3}\)

4) מהי פונקציית מצב יסוד עבור אלקטרון יחיד באטום כשמטען הגרעין הוא Ze?
5) חשב את ממוצע האנרגיה הפוטנציאלית והשווה לתוצאה המתאימה של מודל בוהר. \(<U(r)>\ =\ \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 a_0}\)

(אנחנו עובדים ביחידות CGS בהם  \(4\pi\epsilon_0=1\))