שרדינגר - פוטנציאל הרמוני

exercise 3_4321
הכוח הפועל אטומים במולקולה דו-אטומית של חנקן הוא מהצורה \( F=-kx \) , כאשר \( k=10^3\frac{J}{m^2} \) ו-x הוא ההזזה משיווי משקל של המרחק היחסי.
א) חשב/י את תדירות התנודה הקלאסית ω בעזרת המסה המצומצמת \( \mu=\frac{1}{2}m_N \) כאשר מסת אטום החנקן היא \( m_N=23.24\times{10^{-27}}kg \) .
ב) חשב/י את האנרגיה (התנודתית) הנמוכה ביותר ואת אנרגיית הרמה המעוררת הראשונה של המולקולה ביחידות eV.
ג) מהי תדירות הפוטון הנפלט במעבר בין הרמה הראשונה לרמת היסוד?
ד) מצא/י את ההזזה Xm (של המולקולה הקלאסית) המכסימלית אילו  למולקולה הייתה אנרגיית הרמה המעוררת מסעיף ב'.
ה) חשב/י את ההסתברות של המולקולה להיות בתחום האסור קלאסית. כלומר עבור \( \mid{x}\mid>x_m \)

נתון פונקציית הגל ברמה \( n=1 \) :
\( \Psi_1(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}\sqrt{2} \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x\cdot e ^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2} \)