Quantum Harmonic Oscillator, Expectation values

exercise 3_4316

שאלת בונוס - לא חובה אך עדיין מומלץ לנסות לפתור.

 

נתון חלקיק שמסתו m ‫,‬ הנע בהשפעת פוטנציאל הרמוני בתדירות ω .

ידוע שבזמן t=0 . מתקיימים התנאים הבאים:

 

א. מצאי \( |\psi\rangle(x,t) \) ‫.‬

ב. מצאי \( \langle x\rangle(t) \) , \( \langle p\rangle(t) \) , ו \( \langle E\rangle(t) \) ‫.‬ (אפשר להשתמש בקשר \( \langle p\rangle(t) = m\langle \dot{x}\rangle(t)\))

ג. מצאי \( \Delta p(t) \) ו \( \Delta x(t) \) והראי שעקרון אי הודאות של הייזנברג מתקיים.

 

הדרכה לסעיף א':

יש לכתוב את פונקציית הגל כסופרפוזציה של מצבים עצמיים שתקיים את התנאים הנ"ל. אח"כ באמצעות התנאים אפשר לקשר בין הגודל והפרש הפאזה של המקדמים של כל מצב עצמי.

נסביר מה הוא הפרש הפאזה בין המצבים העצמיים:

ניקח פונקצית גל כללית של סופר פוזיציה של שני מצבים (שימו לב כי ללא נרמול יש כאן 4 דרגות חופש שונות) -  

\( |\psi\rangle = C_1 |1\rangle +C_2 |2\rangle \ \ \ \ C_1,C_2 \in \mathbb{C}\\ or \ \ |\psi\rangle = \tilde{C_1}e^{i\phi_1} |1\rangle +\tilde{C_2}e^{i\phi_2} |2\rangle \ \ \ \ \tilde{C_1},\tilde{C_2},\phi_1,\phi_2 \in \mathbb{R}\\ \) 

נגדיר כיול פאזה, ונזכיר כי כיול זה אינו משנה את פונקציית ההסתברות (ראו שאלה 4301 בשיעורי בית 3):

\(|\tilde{\psi}\rangle \equiv |\psi\rangle e^{-i\phi_1}\)

וכעת אפשר לכתוב את הפונקציה בצורה יותר נוחה שתלויה רק ב3 דרגות חופש:

\(|\psi\rangle = \tilde{C_1} |1\rangle +\tilde{C_2}e^{i\theta} |2\rangle \ \ \ \ \tilde{C_1},\tilde{C_2},\theta \in \mathbb{R}\\ \theta \equiv \phi_2-\phi_1\)

עכשיו ניתן לומר ש \(\theta\) היא הפרש הפאזה בין המצבים הקוונטים השונים.

עליכם להסיק את המצבים העצמיים הרלוונטים ע"י התנאי הראשון, ולמצוא את 3 דרגות החופש באמצעות 2 התנאים האחרים + תנאי על נרמול.