Quantum oscillator

exercise 3_4313

נתון חלקיק הנע במימד אחד בהשפעת כח מחזיר הפרופורציוני למרחק מנקודת שווי משקל הממוקמת ב \( x=0 \) . הכח הפועל על החלקיק נתון ע"י \( F(x) = -\alpha x \) .

זהו מודל של אוסילטור הרמוני במימד אחד.

א) מהו הפוטנציאל בכל מקום על ציר ה \( x \) ?

ב) כתוב את משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן עבור החלקיק.

ג) נתונות פונקציות הגל הבאות:

\( \varphi_0(y) = A_0 e^{-\frac{y^2}{2}} \)

\( \varphi_1(y) = A_1 y e^{-\frac{y^2}{2}} \)

כאשר \( y = \frac{(\alpha m)^{\frac{1}{4}}}{\hbar^{\frac{1}{2}}}x \)

מהם קבועי הנרמול \( A_0 \quad\quad A_1 \) ?

ד) מהם ערכי האנרגיה שיתקבלו אם החלקיק הוכן בכל מהמצבים \( \varphi_0\quad\quad\varphi_1 \) ?

ה) בזמן \( t=0 \) החלקיק הוכן במצב \( \Psi(x) = \varphi_0(x) \) . מה יהיה מצב בחלקיק בזמן \( t \) ?

ו) מהן התוחלת והשונות של מיקום החלקיק \( x \) עבור מערכת שהוכנה במצב \( \Psi(x) = \varphi_0(x) \) ?

ז) הראה ש \( \varphi_0 \) ו \( \varphi_1 \) אורתוגונליות זו לזו.