Particle in a 1D well

exercise 3_4309

נתון חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי ברוחב \( a \) . כזכור, המצבים העצמיים עבור בור שכזה נתונים ע"י הפונקציות:

\( \varphi_n = \sqrt{\frac{2}{a}}\mbox{sin}(\frac{n\pi x}{a}) \)

והאנרגיות העצמיות הן \( E_n = \frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2}n^2 \) .

נתון שפונקציית הגל ההתחלתית בה הוכנה המערכת היא פונקציה משולשת מהצורה

\( \Psi(x,0) = \left\{ \begin{array}{rl} \frac{2b}{a}x & \mbox{ for } \quad 0 < x < \frac{a}{2}\\ 2b-\frac{2b}{a}x & \mbox{ for } \quad \frac{a}{2}< x < a \end{array} \right. \)


א. מצא/י את \( b \) .

ב. מהי ההסתברות שבמדידת אנרגיית החלקיק ימדדו הערכים \( E_1\quad E_2\quad E_3\quad E_4\quad E_5 \) ?

ג. חשב/י את ערך התוחלת של אנרגיית החלקיק \( <E> \) .

יתכן ותזדקק/י לטור הבא: \( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8} \) .