מערכת 3 אתרים על טבעת

exercise 3_4219



נתונה מערכת שלושה אתרים על טבעת \(|1\rangle=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\quad,|2\rangle=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),|3\rangle=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\) .
הדינמיקה של המערכת מתוארת ע"י ההמילטוניאן: \( H=\epsilon\hat{D}+\epsilon\hat{D}^\dagger\\ \) ‫.
כך שאופרטורי ההזזות מוגדרים \( \hat{D}|i\rangle=|i-1\rangle , \hat{D}^\dagger|i\rangle=|i+1\rangle \\ \) ‫.
אופרטור המיקום מוגדר כ \( \hat{x}|i\rangle=i|i\rangle\\ \) ‫.‬
א.ייצג את אופרטורי ההזזה ע"י מטריצה והראה כי אחד הוא צמוד הרמיטי של השני
ב. ייצג את אופרטור המיקום ע"י מטריצה. מהם הוקטורים והערכים העצמיים
ג. מהם הוקטורים והערכים העצמיים של ההמילטוניאן ,הצג את משוואת התנועה עבור המצבים העצמיים.
ד. מכינים את החלקיק בזמן 0 במצב \( |3\rangle \) מהו מצב המערכת בזמן כלשהו?
ה. מה הסיכוי למצוא את החלקיק באתר 1 אחרי זמן כלשהו?
ו. מהו יחס החילוף \( [D,x] \) .