3 site non periodic system

exercise 3_4217



נתונה מערכת שלושה אתרים שקצותיה חסומים \(|0\rangle=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\quad,|1\rangle=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),|2\rangle=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\) .
הדינמיקה של המערכת מתוארת ע"י ההמילטוניאן: \( H=\epsilon\hat{D}+\epsilon\hat{D}^\dagger\\ \) ‫.
כך שאופרטורי ההזזות מוגדרים \( \hat{D}|i\rangle=|i-1\rangle , \hat{D}^\dagger|i\rangle=|i+1\rangle \\ \)
אופרטור הזזה ימינה שפועל על האתר הימני מחזיר 0 (הורס אותו), ובהתאם גם האופרטור הזזה השמאלי. ‫.
אופרטור המיקום מוגדר כ \( \hat{x}|i\rangle=i|i\rangle\\ \) ‫.‬
א.ייצג את אופרטורי ההזזה ע"י מטריצה והראה כי הם הרמיטיים
ב. מהם הוקטורים והערכים העצמיים של ההמילטוניאן
ג. מכינים את החלקיק בזמן 0 במצב \( |0\rangle \) מהו מצב המערכת בזמן כלשהו?
ד. מה הסיכוי למצוא את החלקיק באתר 0 אחרי זמן כלשהו?
ה. מהו הממוצע של אופרטור המיקום בזמן כלשהו?