3 site system

exercise 3_4216



נתונה מערכת שלושה אתרים על טבעת \(|1\rangle=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\quad,|2\rangle=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\quad|3\rangle=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\) .
הדינמיקה של המערכת מתוארת ע"י ההמילטוניאן: \( H=\epsilon\hat{D}+\epsilon\hat{D}^\dagger\\ \) ‫.
כך שאופרטורי ההזזות מוגדרים \( \hat{D}|i\rangle=|i-1\rangle , \hat{D}^\dagger|i\rangle=|i+1\rangle \\ \) ‫.
אופרטור המיקום מוגדר כ \( \hat{x}|i\rangle=i|i\rangle\\ \) ‫.‬
א.ייצג את אופרטורי ההזזה ע"י מטריצה והראה כי אחד הוא צמוד הרמיטי של השני
ב. ייצג את אופרטור המיקום ע"י מטריצה. מהם הוקטורים והערכים העצמיים
ג. מהם הוקטורים והערכים העצמיים של ההמילטוניאן ,הצג את משוואת התנועה עבור המצבים העצמיים.
ד. מכינים את החלקיק בזמן 0 במצב \( |3\rangle \) מהו מצב המערכת בזמן כלשהו?
ה. מה הסיכוי למצוא את החלקיק באתר 1 אחרי זמן כלשהו?
ו. מצא את המצבים העצמים עבור מערכת עם אינסוף אתרים (גבול הרצף)עבור ההמילטוניאן הזה
ז. מהו יחס החילוף \( [D,x] \) .