Particle on a ring, measurements

exercise 3_4214

נתון חלקיק על טבעת שהיקפה \( L \) . בזמן \( t=0 \) . החלקיק הוכן במצב

\( |\psi\rangle(x,0) = A\left(|-2\rangle+\sqrt{2}|-1\rangle + \sqrt{3}|0\rangle+\sqrt{2}|1\rangle+|2\rangle\right) \)

כאשר

\( |n\rangle = \varphi_n = \sqrt{\frac{1}{L}}e^{\frac{2\pi i n x}{L}} \) .

א. מצאי את \( A \) .

ב. מצאי את \( |\psi\rangle(x,t) \) .

ג. נגדיר את אופרטור הזוגיות \( \hat{Z}|n\rangle = \frac{1+(-1)^{n}}{2}|n\rangle \) מה ההסתברות למדידת הערך \( \hat{Z}=1 \) ‫ ‫?‬

ד. מצאי את ערך התוחלת של אנרגיית החלקיק \( \langle\hat{H}\rangle \) , הראי שערך זה אינו תלוי בזמן .

ה. במדידת תנע, מהי ההסתברות למדוד את הערך \( \frac{4\hbar\pi}{L} \) ‫?‬ \( \frac{2\hbar\pi}{L} \) ‫?‬

ו. ברגע מסויים \( t_0 \) מדדנו את זוגיות החלקיק וקיבלנו \( Z = 1 \) ,

‫‬ רשמי את פונקציית הגל המתארת את החלקיק עבור \( t>t_0 \) , שימי לב לנרמול .

ז. חזרי על סעיפים ד וה בזמן \( t>t_0 \) .