Projection Operators

exercise 3_4211

נתון הוקטור המנורמל \( |\alpha\rangle \) . נגדיר את אופרטור ההטלה על \( |\alpha\rangle \) ע"י \( \hat{P}_{\alpha} = |\alpha\rangle\langle\alpha| \) . כאשר אופרטור זה פועל על וקטור כלשהו \( |\beta\rangle \) התוצאה היא הרכיב של \( |\beta\rangle \) . הפונה לכיוון \( |\alpha\rangle \) ,

\( \hat{P}_{\alpha}|\beta\rangle = \langle\alpha | \beta\rangle|\alpha\rangle \) .

אופרטור כזה נקרא אופרטור ההטלה על המרחב החד מימדי הנפרש ע"י \( |\alpha\rangle \) .

א. הראה ש \( \hat{P}_{\alpha}^2 = \hat{P}_{\alpha} \) . מצא מצבים עצמיים ווקטורים עצמיים.

ב. נניח שהקבוצה \( |e_j\rangle\quad\quad j\in 1,2,3...n \) . יוצרת בסיס אורתונורמלי למרחב וקטורי \( n \) מימדי . הראה ש \( \sum\limits_{j=1}^{n}|e_j\rangle\langle e_j| = 1 \) .

ג. נניח ש \( \hat{Q} \) . הוא אופרטור שלו קבוצה שלימה של מצבים עצמיים אורתוגונליים \( \hat{Q}|e_j\rangle = \lambda_j|e_j\rangle\quad\quad j\in 1,2,3...n \) . הראה שניתן להציג את \( \hat{Q} \) . בעזרת הפירוק הספקטרלי

\( \hat{Q} = \sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_j|e_j\rangle\langle e_j| \) .