Hermitian operators

exercise 3_4200

את ערך התוחלת של משתנה מקרי כלשהו \( f \) מחשבים בעזרת הנוסחה:

\( <f>=\int_{\Omega}\psi^{*}\hat{f}\psi \)

כאשר \( \hat{f} \) הוא האופרטור הלינארי המייצג את המשתנה \( f \) ו \( \Omega \) מרחב המדגם של \( f \) .
בכדי שלמשתנה מקרי תהיה משמעות פיזיקלית כלשהי המשתנה חייב לקבל ערכים עצמיים(ערכי מדידה אפשריים) ממשיים.

א. הראה/י שכל משתנה מקרי בעל משמעות פיזיקלית חייב להתקיים הקשר
\( \int_{\Omega}\psi^{*}\hat{f}\psi = \int_{\Omega}(\hat{f}\psi)^{*}\psi \)
אופרטור המקיים קשר זה נקרא אופרטור הרמיטי.

ב. בדוק/בדקי אם אופרטור הזהות \( \hat{I} \) המוגדר ע"י \( \hat{I}\psi(x,t) = \psi(x,t) \) הוא אופרטור הרמיטי. מצא/י את התוחלת והשונות שלו.

ג. הוכח/הוכיחי שאופרטור המקום \( \hat{x} = x \) ואופרטור התנע \( \hat{p}_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \) הם הרמיטים.